Cтраница 2
В терминах теории меры ансамбль X определяется выборочным пространством - множеством событий, каждое из которых является подмножеством элементов выборочного пространства и вероятностной мерой на множестве событий. Множество событий обладает тем свойством, что любое конечное или счетное объединение или пересечение множеств событий является другим событием и что дополнение любого события является другим событием. Вероятностная мера обладает следующими свойствами: каждое событие имеет неотрицательную вероятность, все выборочное пространство имеет вероятность, равную единице, и вероятность любого конечного или счетного объединения непересекающихся событий равна сумме вероятностей отдельных событий. Для всех задач, имеющих практический интерес), любое подмножество элементов, которое следует рассмотреть, является событием и имеет вероятность. [16]
Основой построения теории меры является, прежде всего, некоторое множество X, природа его элементов несущественна. Если говорить о теории вероятностей, то X называется множеством элементарных исходов испытания. Далее, должно быть задано некоторое семейство F частей этого множества, которое является сг-алгеброй. [17]
При изложении теории меры Лебега нам придется рассматривать не только конечные, но и бесконечные объединения прямоугольников. [18]
Необходимые сведения из теории меры сообщаются в четвертой главе. [19]
В трехмерном случае теория меры Жордана аналогична. [20]
Поясним содержание аксиом теории меры и теории вероятностей. [21]
Прежде чем излагать теорию меры в топологических группах, мы приведем в этом параграфе три топологические теоремы, находящие важное применение в теории меры. Эти теоремы касаются открытых подгрупп; подгруппа Z топологической группы А называется открытой если Z представляет собой открытое подмножество. Мы покажем, что все топологические свойства группы X присущи всякой ее открытой подгруппе Z; прочие свойства находят свое отражение в строении класса левых смежных подмножеств по Z, топология его оказывается дискретной. [22]
Мы можем построить теорию меры точно таким же образом, как и раньше, исходя из этих множеств, меру которых мы знаем. [23]
Продолжая аналогию с теорией меры, мы определим стационарные подмножества в W как те, мера которых не равна нулю. [24]
Говоря I) терминах теории меры ( см., например, 73), сказанное выше означает, что хотя канторов дисконтинуум имеет такую же мощность, что и весь отрезок [ О, 1J, однако его леосм опекая мера равна нулю, а мера отрезка [ О, 1 ] равна единице. [25]
Однако в некоторых вопросах теории меры возможность пренебрегать множествами меры нуль и переход к соответствующей строго положительной а-мере оказывается более удобным и адекватным. Здесь введение понятия булевых алгебр является существенным, поскольку ни одна а-мера на а-поле множеств не является строго положительной, за исключением нескольких тривиальных случаев. [26]
Халмоша посвящена систематическому изложению теории меры и абстрактного интеграла Лебега и некоторым их приложениям, главным образом к теории вероятностей и к топологической алгебре. Первые восемь глав книги содержат общую теорию меры в абстрактном пространстве. Понятие независимости множеств приводит к теоретико-множественной трактовке основ теории вероятностей ( гл. IX), а введение в исходном пространстве топологии - к изучению меры в локально компактных пространствах ( гл. Следует отметить, что этот последний круг вопросов сравнительно мало освещен в монографической литературе. [27]
Читатели, знакомые с теорией меры, знают, что теорема мажорированной сходимости позволяет производить подобную замену. [28]
Читателю, знакомому с теорией меры, нетрудно понять, что f ( x ] / N ( x ] представляет собой производную Радона-Никодима вероятностной меры случайной величины X по мере, величина которой при любом множестве представляет собой число возможных значений X, принадлежащих этому множеству. [29]
О трех задачах Ароншайна из теории меры / / Функц. [30]