Cтраница 3
Этот вопрос обстоятельно исследуется в теории меры. [31]
Этот вопрос полностью решается в теории меры. [32]
В предыдущем параграфе была построена теория меры Лебега в евклидовом пространстве Rm. [33]
При изучении интегральных операторов патология теории меры является развлечением, не относящимся к делу. Теорема о представлении говорит, что обычные классические пространства являются моделями всего, что может случиться. В результате этого все рассматриваемые ниже пространства с мерой предполагаются сепарабельными и о-конечными, а следовательно могут быть заменены классическими пространствами без потери общности, как только это может потребоваться. [34]
С целью разъяснения основных понятий теории меры мы рассмотрим сейчас один классический частный случай, важный и сам по себе. [35]
Предполагается, что из курса теории меры читателю известно, что запас измеримых функций весьма широк, в частности обычные функции анализа являются измеримыми. Таким образом, возможность образовывать функции / (), где f ( x) - измеримая функция ( может быть одной, а может быть и нескольких вещественных или комплексных переменных), заведомо обеспечивает потребности любых приложений. [36]
Здесь сообщаются необходимые сведения иэ лебеговской теории меры и интеграле. Ряд общих результатов, обычно входящих в программу университетских курсов анализа, приводится без доказательств. В заключительной части параграфа обсуждается и доказывается теорема Седа о регулярных значениях гладких отображений. Этой теореме в нашем курсе предстоит сыграть важную роль. [37]
Если стать на точку зрения теории меры точечных множеств, то приходим к заключению, что числа ненормальные образуют множество нулевой меры 117J, тогда как мера множества нормальных десятичных чисел ( между 0 и 1) равна единице. Следовательно, надо считать, что нормальных чисел бесконечно больше, чем чисел ненормальных. [38]
Стоит ли столько возиться с теорией меры в применении к теории вероятностей - вопрос вкуса. Я лично предпочитаю ограничить волнения по этому поводу до минимума, потому что я твердо уверен, что теория вероятностей теснее связана с анализом, физикой и статистикой, чем с теорией меры как таковой. [39]
Операция образования F-произведения часто используется в теории меры. [40]
Сохраним обозначение, которое использовалось в теории меры. [41]
Эти свойства вероятности хорошо известны из теории меры. [42]
Следует отметить, что два результата теории меры - теорема Каратеодори о продолжении меры и теорема Радона-Никодима - принимаются без доказательства. [43]