Cтраница 4
В-четвертых, когда точное решение задачи теории упругости не может быть найдено, вариационный метод зачастую обеспечивает формулировку для приближенного решения задачи, которая дает приближенное решение с заданной степенью точности. Здесь вариационный метод обеспечивает не только приближенное решение определяющих уравнений, но и условия приближенного выполнения граничных условий. Поскольку точное решение задачи теории упругости возможно лишь в очень редких случаях, то для практических целей следует удовлетвориться приближенными решениями. Теории балок, пластин, оболочек и многокомпонентных конструкций являются типичными примерами приближенных формулировок, демонстрирующими мощь принципа виртуальной работы и связанных с ним вариационных методов. [46]
Кубические сплайн-функции - это недавнее математическое изобретение, но они моделируют очень старое механическое устройство. Чертежники издавна пользовались механическими сплайнами, представляющими собой гибкие рейки из какого-нибудь упругого материала, обычно дерева или ( в последнее время) пластика. Механический сплайн закрепляют, подвешивая грузила в точках интерполяции, называемых исторически узлами. Сплайн принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию, и в теории балок устанавливается, что эта энергия пропорциональна интегралу по длине дуги от квадрата кривизны сплайна. [47]
Такой расчет продольной прочности судов получил всеобщее признание, а его точность была проверена непосредственными испытаниями. Испытания, проведенные по изгибу корпуса эскадренного миноносца Вольф 2), а впоследствии эсминцев Престон и: Брюс 3) показали, что измеренные прогибы и напряжения можно привести в соответствие с теорией балки, если при определении жесткости изгиба судна принять во внимание то обстоятельство, что работоспособность некоторых пластин снижается в результате потери устойчивости. Аварии судов Престон и Брюс произошли вследствие потери устойчивости сжатых пластин и стрингеров. [48]
Взрывались мощные паровые котлы, разрушались громадные военные корабли и пароходы, хотя рассчитаны они были по всем правилам современной науки о прочности, науки, которая, казалось, достигла совершенства. Миноносец Вулф был заведен в сухой док и поставлен сначала на одну подпорку посередине, а затем на две по краям, как будто бы в шторм он оказался на гребне одной волны или двух волн. После этого испытания были продолжены в открытом море во время жесткого шторма. Оказалось, что в течение всего эксперимента приборы не смогли обнаружить напряжений выше 90 МПа, а прочность корабельной стали составляла тогда примерно 390 - 440 МПа. Такой же запас прочности следовал из расчетов по теории балок, но утешение в этом было слабое, поскольку отмечались случаи, когда ломались пополам пароходы, максимальное напряжение в корпусах которых не превышало по расчетам одной трети от предела прочности стали. [49]