Cтраница 3
Снижение общей математической образованности и общедоступность вычислительной техники делают необходимым создание комплексов программ, допускающих их использование исследователями невысокой математической квалификации. Разработка таких комплексов невозможна без дальнейшего развития теории численных методов. [31]
Другими главами являются методика применения теории вероятностей, теория сложных систем, теория численных методов математического анализа, методика решения некорректно поставленных задач 7 и многие другие. [32]
Быстрое проникновение математики во многие области знания, в частности, объясняется тем, что математические модели и методы их исследования применимы сразу ко многим явлениям, сходным по своей формальной структуре. Часто математическая модель, описывающая какое-либо явление, появляется при изучении других явлений или при абстрактных математических построениях задолго до конкретного рассмотрения данного явления В частности, и в теории численных методов, так же как в чистой математике, полезна разработка общих построений. Однако есть разница в подходе чистого и прикладного математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие решить задачу означает доказать существование решения и предложить процесс, сходящийся к решению. Сами по себе эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого, ему-нужно, чтобы процесс получения приближения не требовал больших затрат, например, времени или памяти ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится. При численном решении задач возникают также новые вопросы, связанные с устойчивостью результата относительно возмущений исходных данных и округлений при вычислениях. [33]
Вычислительные методы нелинейного программирования - образуют достаточно обширное семейство. Для придания предыдущей фразе точного смысла следует, конечно, формально определить входящие в нее понятия класс задач математического программирования, метод решения задач данного класса, погрешность и трудоемкость метода на задаче и на классе. Поскольку нас здесь не интересует теория численных методов сама по себе, ограничимся определением этих понятий на интуитивном уровне. [34]
Выборка из материала первых девяти глав используется как часть лекционного курса для старшекурсников Университета Беркли; кое-что из последующего материала вынесено на семинар для аспирантов. Несмотря на математический характер обсуждения, в действительности оно адресовано всем, кому нужно вычислять собственные значения. Если бы мне довелось узнать, что кому-то из практиков, не занимающихся теорией численных методов, чтение каких-либо разделов книги принесло пользу, а может быть, и некоторое удовольствие-ничто не обрадовало бы меня больше. [35]
Рассмотрим пример, иллюстрирующий это утверждение. Решение дифференциальных уравнений в частных производных сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с матрицей, в каждой строке которой имеется 5 - 10 ненулевых элементов. Конечность скорости распространения сигнала-300000 км / с - ставит уже сейчас существенное ограничение на возможный рост быстродействия однопроцессорных ЭВМ, поэтому значение дальнейшего развития теории численных методов трудно переоценить. В частности, становится все более актуальной проблема разработки численных методов и программных средств для многопроцессорных ЭВМ. [36]
Однако теперь, с повсеместным распространением вычислительной техники и внедрением ее в различные сферы деятельности общества, обстановка меняется. Узким местом этой системы становятся длительность выбора математической модели, метода решения задачи, программирования и других этапов, предшествующих непосредственному решению задачи на ЭВМ. Прохождение этих этапов особенно замедляется в случае, когда решением задач на ЭВМ занимаются представители конкретных наук, например филологи, медики, экономисты, географы и т.п., мало знакомые с численными методами или программированием. Обучение их тонкостям теории численных методов может превратиться в самоцель, отвлекающую от решения основных задач их науки, и в конечном счете обойтись обществу довольно дорого. Поэтому в настоящее время важнейшей проблемой является создание систем решения задач с максимально простым обращением, предполагающих малую квалификацию пользователя в отношении численных методов и программирования. Например, естественно потребовать, чтобы к программе вычисления интеграла с заданной точностью мог обратиться исследователь, знающий, что такое интеграл, но не умеющий ни интегрировать, ни дифференцировать. [37]
Однако теперь, с повсеместным распространением вычислительной техники и внедрением ее в различные сферы деятельности общества, обстановка меняется. Узким местом этой системы становятся длительность выбора математической модели, выбора метода решения задачи, программирования и других этапов, предшествующих непосредственному решению задачи на ЭВМ. Эти этапы особенно замедляются в случае, когда решением задач на ЭВМ занимаются представители конкретных наук, например филологи, медики, экономисты, географы, малознакомые с численными методами или программированием. Их обучение тонкостям теории численных методов может превра -, титься в самоцель, отвлекающую от решения основных задач их науки, и в конечном счете обойтись обществу довольно дорого. Поэтому в настоящее время важнейшей проблемой является создание систем решения задач с максимально простым обращением, предполагающих малую квалификацию пользователя в отношении численных методов и программирования. [38]
При получении дискретной аппроксимации ( разностной схемы) важную роль играет общее требование, чтобы разностная схема как можно лучше приближала ( моделировала) основные свойства исходного дифференциального уравнения. Оценка точности разностной схемы сводится к изучению погрешности аппроксимации п устойчивости схемы. Изучение устойчивости - центральный вопрос теории численных методов и ему уделяется большое внимание в данной книге. [39]
Необходимость интегрирования дифференциальных уравнений при решении задач оптимального управления приводит к ряду практических затруднений. Как правило, здесь возникают и теоретические трудности, поскольку упомянутое интегрирование на самом деле можно выполнить только приближенно. Однако на данном этапе развития теории численных методов у нас нет иного выхода, кроме как эвристически разрешать эти трудности в надежде на то, что будущее принесет нам более глубокое понимание затронутой проблемы. [40]
В отличие от канонического интерполяционного полинома для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома путем решения системы уравнений. Однако для - каждого значения аргумента х полином (3.5) приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. С известными коэффициентами для вычисления значений канонического полинома требуется значительно меньшее количество арифметических операций по сравнению с полиномом Лагранжа. Важное место занимает полином Лагранжа в теории численных методов. [41]
Получивший в последнее время интенсивное развитие метод конечных элементов свободен от ряда недостатков описанных методов: он не требует специальных усилий по построению системы базисных функций, являющейся сильно минимальной, при его использовании упрощается написание уравнений вблизи границы. Матрица линейной системы уравнений содержит относительно малое число ненулевых элементов. При использовании таких систем не требуется знание теории численных методов и тонкостей программирования. Исследователь должен лишь задать триангуляцию области, а часто система и сама осуществляет такую триангуляцию. Эти методы сходятся при меньших требованиях гладкости, чем конечно-разностные методы. В случае квазиравномерных триангуляции базисные функции метода автоматически удовлетворяют условию сильной минимальности. [42]
Эффект от применения ЭВМ и численных методов достигается. Поэтому в рассматриваемой книге определенное внимание уделено также вопросам теории численных методов, возникающим при разработке таких стандартных программ. [43]