Cтраница 3
Таким образом, любая алгебра, имеющая конечное число образующих, является гомоморфным образом алгебры некоммутативных многочленов. В этом смысле алгебры некоммутативных многочленов играют в теории некоммутативных алгебр такую же роль, как алгебры коммутативных многочленов в коммутативной алгебре или свободные модули в теории модулей. [31]
В этой же главе приводится доказательство теоремы Бергмана о централизаторах элементов свободной алгебры ( централизатор нескалярного элемента свободной алгебры изоморфен алгебре многочленов от одной переменной), использующее различные гомоморфизмы свободной алгебры в алгебру многочленов. Что касается других связей излагаемой теории, то уже из беглого просмотра книги можно заметить, что в ней систематически используются теория решеток для изучения разложений элементов на множители и различные сведения и методы ( в том числе гомологические) из теории модулей. [32]
Теперь несколько слов о книгах. В рассматриваемый период вышла небольшая книга Ламбека [232], в которой удачно сочетаются кольцевые и модульные методы. С точки зрения теории модулей интересны монографии Митчелла ( 267 ] и Фрейда [151] по теории категорий. [33]
Основное утверждение этого параграфа устанавливает эквивалентность нескольких условий конечности для полупростых модулей. Доказательство этого результата базируется на стандартных фактах теории модулей, которые имеют многочисленные приложения, не связанные с полупростыми модулями и алгебрами. [34]
Всюду в этой главе мы обозначаем через А некоторую нетривиальную - алгебру. Унитальный модуль над тривиальной алгеброй состоит из нулевого элемента и не представляет интереса. Необходимость упоминать о кольце R возникает редко, поскольку его роль в элементарных аспектах теории модулей незначительна. [35]
Конечно порожденные правые модули над артиновой справа алгеброй А представимы в виде прямой суммы неразложимых модулей, причем, согласно теореме Крулля - Шмидта, такое представление единственно. Поэтому для дальнейшего развития теории Л - модулей необходимо уделить пристальное внимание неразложимым модулям. В настоящее время такие модули являются предметом активных исследований. Цель двух последующих глав - познакомить читателя с двумя направлениями, интенсивно разрабатываемыми математиками, работающими в теории модулей. [36]
Кроме того, предполагается, что для всякого объекта существует тождественное отображение, оставляющее его без изменений. Если все эти условия выполнены, то совокупность объектов н отображений называется категорией. Категории приобретают все более важное значение не только в алгебре, но и в других областях математики. Особенно тесно-теория категорий связана с топологией - одним из разделов современной математики, истоки которого восходят к геометрии. В ней особо заметную роль играют категории, элементами которых являются модули над кольцами. Она широко использует аппарат топологии и теории модулей. Бегло перечисленные нами разделы современной алгебры представляют собой полигон, весьма пригодный для испытания и проверки результатов новых теорий. [37]