Cтраница 3
Оператор назывдют лилейным, ли он удовлетворяет условиям: V 2) Щ Щг; 14 Ф) аНр, где а - некоторое число. Теория линейных операторов является одной из основных частей математического аппарата квантовой механики. [31]
В этой главе изучаются линейные операторы линейных пространств. Раскрывается тесная связь теории линейных операторов с теорией матриц. [32]
В третьей части центральной является глава 12 Основные структуры математического анализа, в которой речь идет о линейных пространствах, о метрических пространствах ( в отличие от главы 3 первой части здесь моделями служат не точечные множества в конечномерном пространстве, а множества функций), о нормированных пространствах, о нормированных алгебрах и, наконец, о гильбертовых пространствах. Нормированные алгебры прилагаются к теории линейных операторов в нормированном пространстве; в частности, операционное исчисление аналитических функций в нормированной алгебре, примененное к алгебре линейных операторов, приводит к теоремам типа альтернативы Фред-гольма. Изучение линейного нормированного пространства ограниченных последовательностей и линейных функционалов в нем связывается с основными понятиями об обобщенных пределах и обобщенном суммировании рядов. [33]
Книга написана с учетом опыта чтения лекций на физическом факультете, а также на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. От других руководств по линейной алгебре ее отличает более полное изложение теории линейных операторов, наличие специальной главы, посвященной итерационным методам решения линейных систем, наличие доказательства сходимости метода вращении для решения полной проблемы собственных значений, изложение метода регуляризации А. Н. Тихонова для отыскания нормального решения линейной системы. [34]
Математический аппарат квантовой механики должен соответствовать физической постановке задач квантовой механики. Оказалось, что в математике был уже разработан соответствующий математический аппарат - теория линейных операторов. Мы рассмотрим сперва основы этой теории, а в дальнейшем покажем, как аппарат теории линейных операторов может быть связан с задачами квантовой механики. [35]
В книге, как об этом говорит само ее название, речь идет о дифференциальных уравнениях для вектор-функций со значениями в бесконечномерных пространствах. Поэтому для полного усвоения ее содержания от читателя требуется известный запас знаний из геометрии гильбертовых и банаховых пространств и теории линейных операторов, действующих в таких пространствах. [36]
Современная теория гауссовских мер - это интереснейшая область на стыке теории случайных процессов, функционального анализа и математической физики, тесно связанная с разнообразными приложениями в квантовой теории поля, статистической физике, финансовой математике и других разделах естествознания. В этой области изящным и нетривиальным образом взаимодействуют идеи и методы теории вероятностей, нелинейного анализа, геометрии, теории линейных операторов и топологических векторных пространств. [37]
Далеко продвинутая теория самосопряженных краевых задач для дифференциальных уравнений, развитая в предыдущих главах, еще раз демонстрирует силу и значение спектральной теории ограниченных и неограниченных самосопряженных ( или нормальных) операторов, изложенной в гл. Проблема распространения этой теории на операторы, не входящие в класс нормальных, является одной из важнейших нерешенных задач теории линейных операторов. Рассмотрим, например, задачу отыскания разложения единицы для формального дифференциального оператора Т - d2 / dxz q на бесконечном интервале 0 л: оо. [38]
Спектральная теория линейных операторов, являющаяся одним из важнейших разделов функционального анализа, в настоящее время находится в интенсивном взаимодействии с многими другими разделами математики и теоретической физики. Ни одно серьезное исследование по дифференциальным уравнениям и математической физике [17], по вычислительной математике [ ю ] и в других областях не обходится и не может обойтись без широкого использования результатов и методов теории линейных операторов. [39]
В данном случае избран не самый экономный путь для того, чтобы лучше почувствовать мотивировку некоторых абстракций, освоение которых помогает геометрическому стилю мышления. Линейную алгебру, строго говоря, можно изучать вообще без геометрических представлений, как науку о прямоугольных таблицах чисел, - но тогда она больше походит на китайскую грамоту. Здесь предпочтение отдается ее трактовке как теории линейных операторов, действующих в евклидовом пространстве. Это требует некоторых дополнительных усилий на освоение исходных понятий, что окупается впоследствии наглядностью и другими удобствами. [40]
Ненулевое решение уравнения (5.18) или, что то же, уравнения (5.19) принято называть собственным вектором оператора А. Соответствующее значение параметра X называют собственным значением, совокупность собственных значений называют спектром оператора А. Все указанные термины аналогичны соответствующим понятиям теории линейных операторов. [41]
Одной из важнейших задач алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. Мы уже неоднократно встречались с этой задачей на протяжении всего курса. Теперь рассмотрим ее с точки зрения теории линейных операторов. [42]
Третья - шестая главы посвящены основным уравнениям математической физики и методам их решения. В них, как правило, рассматриваются именно те уравнения и задачи, с которыми студенты будут встречаться при изучении электродинамики и квантовой механики. По этой же причине дается краткое изложение теории линейных операторов, составляющих основу математического аппарата квантовой механики. [43]
Однако астрономия и физика являются не единственными областями, в которых теория конических сечений играет выдающуюся роль. Аналитическая геометрия кривых и поверхностей второго порядка может быть распространена с пространств двух и трех измерений на пространства любого числа измерений. И тогда, как было обнаружено, вся теория линейных операторов - либо в виде теории обыкновенных линейных алгебраических уравнений, либо обыкновенных дифференциальных уравнений, или уравнений в частных производных, либо интегральных уравнений - может быть сформулирована в виде геометрической проблемы, относящейся к поверхностям второго порядка. Конические сечения были, так сказать, подняты с плоскости и помещены на гораздо более возвышенное основание. Пространство, с которым мы теперь оперируем, не является более пространством двух или трех измерений, а пространством многих измерений и может быть даже пространством бесконечно большого числа измерений. Но поверхности второго порядка, расположенные в этих многомерных пространствах, все же обладают теми же основными свойствами, которые греки открыли в своих исследованиях о конических сечениях. [44]
Математический аппарат квантовой механики должен соответствовать физической постановке задач квантовой механики. Оказалось, что в математике был уже разработан соответствующий математический аппарат - теория линейных операторов. Мы рассмотрим сперва основы этой теории, а в дальнейшем покажем, как аппарат теории линейных операторов может быть связан с задачами квантовой механики. [45]