Cтраница 3
Последний § 1.8 посвящен многомерным обобщениям ранее рассмотренных вопросов. В нем также обсуждаются связь рассматриваемых вопросов с теорией случайного блуждания и некоторые условности, связанные с назначением гипотетических значений параметра распределения. В конце параграфа обсуждаются результаты гл. [31]
Однако в связи с рядом проблем физики твердого тела особенно интенсивно теория случайных блужданий развивалась в течение последних двух десятилетий. Исследования переноса энергии экситонами, в частности, при их высоких концентрациях, безусловно, будут стимулировать и дальнейшее развитие этой теории. [32]
Разрывный множитель Дирихле широко используется как математический прием в задачах, включающих распределения вероятностей. Множитель Дирихле является основой успешного применения метода Маркова к общим задачам теории случайных блужданий, разработанного Чандрасекаром. Определим прежде всего множитель Дирихле. [33]
А может быть, можно получить прибыль и из хаоса, даже если цены акций ведут себя абсолютно случайным образом. Для подобных процессов разработаны специальные методы, и соответствующий раздел математики называется теорией случайных блужданий, в рамках которой динамика цены акций рассматривается как случайное блуждание точки по оси цен. [34]
Оба типа биржевой игры имеют право на существование. Мы рассказывали о результатах компьютерных исследований, которые показали, что акции, начавшие свой рост, продолжают расти больше, чем позволяет теория случайных блужданий. А падающие акции продолжают падать тоже дальше, чем соответствует упомянутой теории. Продавая падающие акции и продолжая держать растущие, можно получить большую прибыль, чем дает рынок в среднем. [35]
В этой главе мы рассмотрим следующий вопрос: обладают ли финансовые рынки внутренним механизмом нелинейной обратной связи. Если такой механизм, внешне проявляющийся в якобы случайном, хаотическом поведении цен, действительно, существует, то это бросает серьезный вызов таким известным и широко принятым теориям, как теория случайного блуждания и гипотеза эффективного рынка. Мы возьмем несколько простых и хорошо известных моделей, основанных на предположении о хаотическом поведении, сгенерируем с их помощью временные ряды и внимательно изучим каждый из них. [36]
Прошло больше пятидесяти лет, прежде чем эта диссертация случайно увидела свет. Юношески свежее, каким был в то время его автор, математическое описание процесса формирования цен на государственные облигации, выпущенные французским правительством, на пять лет опередило открытие Эйнштейна о движении электронов, которое в свою очередь подготовило почву для теории случайных блужданий в научном осмыслении финансовой деятельности. [37]
Рассмотрим задачу, поставленную в начале настоящей главы. В терминах теории случайного блуждания qz и рг суть вероятности того, что частица, выходящая из точки 2, будет поглощена соответственно в О или в а. [38]
Инвесторы использовали ценовые графики и ценовые модели в качестве инструментов для предсказания будущего движения цен на протяжении всей истории финансовых рынков. Таким образом, неудивительно, что первые исследования рыночной эффективности сосредоточивались на связи между изменениями цен во времени и пытались определить, возможны ли в действительности подобные предсказания. Некоторые из этих проверок были стимулированы применением теории случайных блужданий к теории ценовых изменений. При этом предполагалось, что цены меняются во времени случайным образом. [39]
Тем не менее, несмотря на этот широко распространенный метод для пересчета риска на год, известно, что стандартное отклонение подвергается масштабированию в более быстром темпе, чем квадратный корень из времени. Эмпирические исследования Тернера и Вайгеля ( Turner and Weigel, 1990), Шиллера ( Shiller, 1989) и Петерса ( Peters, 1991b) подтверждают такой темп масштабирования. Для объяснения этого свойства, идущего вразрез с теорией случайных блужданий и гипотезой эффективного рынка ( ЕМН), были исследованы запаздывающий белый шум, возмущения ARCH и другие причины. [40]
Чтобы отразить истинное положение вещей и избежать при этом теоретико-множественных и других чисто математических трудностей, в этом томе рассматриваются только дискретные пространства элементарных событий. Это жесткое ограничение, но его будут приветствовать читатели, не являющиеся математиками. Оно позволяет включить в книгу специальные вопросы, которые нелегко найти в литературе, и в то же время дает возможность, начав изложение элементарно, почти исчерпывающим образом рассмотреть такие глубокие темы, как теория случайных блужданий и теория цепей Маркова. Общая теория случайных величин и их распределений вероятностей, предельные теоремы, теория диффузионных процессов и некоторые другие темы отложены до следующего тома. [41]
Посмотрим, следует ли такой прогноз из анализа данных. Основополагающая идея состоит в том, что приращения на дневном масштабе есть сумма приращений в каждую минуту этого дня. Соответственно, месячные приращения представляют собой сумму дневных приращений этого месяца. Так как динамика приращений основана на модели случайных блужданий, то ранее рассмотренный закон квадратного корня должен выполняться. Отношение месячного значения равного 5 % к дневному значению равному 1 % эквивалентно 5, что совсем близко к корню квадратному из числа торговых дней в месяце, обычно это 20 - 24 дня. Теория случайных блужданий, таким образом, достаточно адекватно описывает типичные изменения на рынке акций во времени и на разных временных масштабах. [42]
Посмотрим, следует ли такой прогноз из анализа данных. Основополагающая идея состоит в том, что приращения на дневном масштабе есть сумма приращений в каждую минуту этого дня. Соответственно, месячные приращения представляют собой сумму дневных приращений этого месяца. Так как динамика приращении основана на модели случайных блужданий, то ранее рассмотренный закон квадратного корня должен выполняться. Отношение месячного значения равного 5 % к дневному значению равному 1 % эквивалентно 5, что совсем близко к корню квадратному из числа торговых дней в месяце, обычно это 20 - 24 дня. Теория случайных блужданий, таким образом, достаточно адекватно описывает типичные изменения на рынке акций во времени и на разных временных масштабах. [43]
Поп пер атаковал марксизм и фрейдистский психоанализ на том основании, что эти теории, как и многие другие, провозглашали себя научными, но их ложность не могла быть доказана путем испытаний; следовательно, их претензии были необоснованными. Я думаю, что аргумент, который он использовал против марксизма, также относится к таким многоуважаемым теориям, как теория совершенной конкуренции, которая провозглашает, что при определенных условиях неограниченное следование личным интересам ведет к наиболее эффективному распределению ресурсов. Я ставлю под вопрос ее применимость к реальной жизни; и я не уверен, выдержит ли она испытание на финансовых рынках. Я полагаю, что деятельность Quantum Fund сама по себе доказывает ложность теории случайных блужданий. [44]
Эта версия ЕМН, основанная на случайном блуждании, во многих отношениях ограничена. Рыночная эффективность не подразумевает с необходимостью случайное блуждание, но случайное блуждание подразумевает рыночную эффективность. Следовательно, предположение о том, что прибыли нормально распределены, непременно подразумевается эффективными рынками. Однако существует глубоко укоренившееся предположение о независимости прибылей. Большинство тестов ЕМН проверяют также версию о случайном блуждании. Кроме того, в любом варианте ЕМН утверждает, что прошлая информация не влияет на рыночную активность, так как эта информация общеизвестна. Это предположение об относительной независимости изменений рыночных цен, во-первых, дает возможность использовать теорию случайного блуждания и далее более общие мартингальные и субмар-тингальные модели. И хотя не все версии ЕМН предполагают независимость, техника, используемая для статистических испытаний, несет в себе предположение о независимости, а такжо п гущсгтвовапии конечных дисперсий. Вследствие лих особенностей версия ЕМН, основанная на случайном блуждании, считается единственной гипотезой эффективного рынка, ее неотъемлемым признаком, хотя технически это неверно. [45]