Cтраница 3
Помимо линейных форм в теории поверхностей, начиная с работ Гаусса, используются квадратичные дифференциальные формы. [31]
При изучении ряда вопросов теории поверхностей целесообразно использование геодезических кривых в качестве координатных линий. [32]
Переходя к краткому обзору теории поверхностей, мы прежде всего должны напомнить об исследованиях, произведенных для определения кривизны в отдельной точке поверхности. При этих исследованиях, как известно, через рассматриваемую точку проводят нормальные сечения и сравнивают кривизны отдельных нормальных сечений. Величина радиуса кривизны, вообще говоря, изменяется с положением нормального сечения и существуют два положения, при которых эта величина имеет максимальное и минимальное значение. [33]
Этому соответствует теорема Менье теории поверхностей, которая гласит: радиус кривизны косого сечения равен проекции радиуса кривизны нормального сечения на плоскость косого сечения. Таким образом, теорема Менье может рассматриваться как количественная специализация общего принципа прямейшего пути. [34]
В классическом сочинении Дарбу по теории поверхностей) задача об определении положения тела по заданной угловой скорости сведена к разысканию одного частного решения уравнения типа Рик-кати. [35]
Несмотря на такую оценку, теория поверхности в равновесной форме дает удобную основу для обсуждения. Следует также принимать во внимание, что поверхность редко бывает чистой. Она обычно загрязнена адсорбированными на ней посторонними веществами, хотя для многих органических веществ с относительно высокой летучестью при изучении ориентированного нарастания [8] получены доказательства того, что чистота их поверхности играет менее существенную роль, чем для неорганических кристаллов. [36]
Несколько подробнее мы остановимся на теории поверхностей, так как она в наших лекциях имеет право на наибольшее место и интерес в диференциальной геометрии. Прежде чем сообщить нечто связное об этом, мы опять-таки приведем некоторые сюда относящиеся заголовки, которые нам послужат руководящими нитями для дальнейшего: кривизна, теорема Эйлера о кривизне, индикатриса Дюпена), линии кривизны, асимптотические линии, геодезические линии, минимальные поверхности, поверхности постоянной кривизны. [37]
Читатель, не знакомый с теорией поверхностей, может опустить этот параграф без ущерба для понимания дальнейшего. [38]
В книге даны некоторые применения к теории поверхностей. Круг затронутых вопросов не особенно широк, но он все же выходит несколько за традиционные рамки. Например, в связи с рассмотрением изометрических координат на поверхности изложены в общих чертах новые методы ( без детального обоснования) построения гомеоморфизмов системы дифференциальных уравнений Бельтрами. Как известно, эта проблема занимает центральное место в теории квазиконформных отображений. Вообще, изометрическим координатам в книге уделено сравнительно больше места, и это сделано совершенно сознательно. Они позволяют шире привлечь аппарат теории функций комплексной переменной к исследованию двумерных задач геометрии и механики сплошной среды. [39]
В целом работа, проведенная в теории поверхностей с афинной связ-остью показала, что эта теория не принадлежит к разряду абстрактных схем, как может показаться с первого взгляда, а, напротив, по конкретности и геометрической жизненности своих результатов является достойным продолжением классической теории поверхностей. [40]
Дальнейшее рассмотрение четырехмерного мира идет параллельно теории поверхностей. Мы изобразили этот процесс в двумерной - плоскости ( фиг. Пусть ячейка координатной сетки ограничена линиями х 3, л: 4 и t l, t 8 ( ср. [41]
Теперь изложим применение этих понятий к теории поверхностей типа КЗ. В конусе / С, состоящем из элементов D с D2 0, мы выберем за / f ту полу, в которой лежат обильные дивизоры. [42]
Рим а на представляет обою развитие Гауссовой теории поверхностей, так и задача Христофеля представляет собою не что иное, как обобщение задачи о возможности наложения в Евклидовом пространстве одной поверхности на другую. [43]
Ее расчет основан на теории закручивания или теории поверхности. Если сообщенное рабочим колесом закручивание в начале спирали после прохождения направляющего, кольца или направляющего аппарата диффузора имеет величину К, то для произвольно выбранного соотношения размеров улитки по ширине в продольном сечении соответственно фиг. [44]
Этим мы заканчиваем предварительные замечания о самой теории поверхностей и прибавим только еще некоторые сведения об учебниках, относящихся к этой части геометрии. [45]