Cтраница 1
Теория наилучшего приближения широко разрабатывалась в школе Чебышева, в двадцатом столетии она выросла в современную конструктивную теорию функ-шш. Именно для этих исследований Чебышев ввел названные его именем полиномы. [1]
Из теории наилучших приближений [11.101] известно, что непрерывные и не очень сложные функции могут быть заменены такими многочленами с высокой точностью, заведомо достаточной для технических задач. [2]
К теории наилучшего приближения периодических функций / / Докл. [3]
Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П. Л. Чебышев ( 1821 - 1894) - один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П. Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. [4]
Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л. Чебышев ( 1821 - 1894) - один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л.Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. [5]
Одной из важнейших теорем теории наилучшего приближения функций посредством многочленов данной степени является открытое Чебышевым условие, необходимое и достаточное для того, чтобы многочлен наименее уклонялся от данной функции в рассматриваемом промежутке. Выведем здесь аналогичное условие, необходимое и достаточное для того, чтобы целая функция Sp ( х) степени р наименее уклонялась от. [6]
Методика базируется на использовании теории наилучшего приближения функций - на применении полиномов, наименее уклоняющихся от нуля в заданном промежутке. Полином наименьшего уклонения степени и с коэффициентом при хп, равным единице, отличается тем, что на заданном промежутке его максимальное значение меньше, чем у любого другого полинома той же степени, с коэффициентом единица при хп. [7]
Следовательно, вся полученная нами теория наилучших приближений применима к этой системе функций. [8]
Таким образом, современное состояние теории наилучшего приближения характеризуется синтезом алгебраических методов с аналитическими методами, и дело в том, чтобы, с одной стороны, выделить те случаи, когда возможно простое формальное решение, и, с другой стороны, усовершенствовать приближенные аналитические методы, которые приводят к общему решению, как, например, методы Полна и Джэксона, о которых уже говорилось раньше. [9]
Из этой работы видно также, что теория наилучшего приближения при помощи функций конечной степени является необходимым дополнением и развитием теории наилучшего приближения посредством многочленов. Предлагаемые заметки имеют целью установить некоторые новые результаты в [ этом направлении, которые отчасти были изложены мною в ноябре 1944 г. в семинаре по конструктивной теории функций в МГУ. [10]
Утверждение б) легко обосновать, испольяуя теорию наилучшего приближения ( см. У. Bn 1 не существует такой пространственной) кривой U, отклонение2) которой ( включая концы) от любой гиперплоскости имеет ire более п - - 1 локальных экстремумов. [11]
В своих важнейших частях метод базируется на использовании теории наилучшего приближения функций, разработанной акад. Полином наименьшего отклонения степени п с коэффициентом при хп, равным единице, отличается тем, что на заданном промежутке его максимальное значение меньше, чем у любого другого полинома той же степени с коэффициентом единица при хп. [12]
Основоположником указанного раздела теории точности механизмов является П. Л. Чебышев, разработавший теорию наилучшего приближения траектории точки шатуна к заданной кривой. [13]
В этой же речи, которая может служить, введением в аналитическою теорию наилучшего приближения, вы найдете, между прочим, что исследование наилучшего приближения заставило меня обратить внимание на некоторые новые дифференциальные свойства функций, которые я назвал обобщенными условиями Липшица. [14]
Прежде всего я излагаю, в возможно более общей форме, основные теоремы теории наилучшего приближения функций. Это позволяет нам в первой главе, пользуясь одним и тем же приемом, получить большое число ( известных или новых) экстремальных на данном отрезке свойств многочленов и рациональных функций, подчиненных одному или нескольким условиям. В этой главе содержится алгебраическая база всей теории; но здесь встречаются уже трансцендентные проблемы. [15]