Cтраница 3
Величину Z ( JV) называют отношением правдоподобия. Это отношение является основной величиной, используемой в теории проверки гипотез. Величину P ( ( uz) / P ( ( u) называют пороговым значением отношения правдоподобия для данного решающего правила. [31]
В - свою очередь, рекомендации, даваемые теорией проверки гипотез, в сильной степени зависят от мощности и способа задания классов Wh отвечающих гипотезам Ht, Дадим в этой связи такие определения. Гипотезу Я, называют простой, если класс Wt содержит одно и только одно распределение. Любую другую гипотезу называют сложной. В противном случае гипотезы именуют непараметрическими. WQ входят все W ( y) с нулевым средним а 0 и любыми дисперсиями а20, а в Wl-с положительным средним а0 и а20, отвечают двум параметрическим гипотезам Я0 и Я. В то же время классы WQ и Wv, содержащие все симметричные и несимметричные одномерные ПВ, соответствуют двум непараметрическим гипотезам Я0 и Я, так как эти классы различаются более чем значениями конечного числа параметров фиксированной ПВ. [32]
Статистические методы контроля и регулирования качества продукции, основанные на теории проверки гипотез, применяются для обоснованного суждения о качестве достаточно большой совокупности объектов по результату проверки сравнительно малой выборки из этой совокупности. [33]
Минимаксный принцип не является, конечно, единственным возможным методом заключений. Иногда более приемлемы менее пессимистические точки зрения, например предположение о равномерном распределении, в том случае, когда это распределение нам неизвестно. Вопрос о правомерности тех или иных предположений зависит от характера решаемой задачи и не может быть объектом обсуждения внутри самой теории проверки гипотез. Однако минимаксный принцип позволяет получить некоторые заключения и теоремы общего характера и, кроме того, имеет безусловное практическое значение. [34]
Для проверки этих предположений начнем с остаточного ряда, полученного по наилучшей модели в данном классе для заданного множества наблюдений 1, и проверим, согласуется ли полученный ря - деатков с этими предположениями. Если модель была выбрана из класса, имеющего переменные во времени коэффициенты, то нужно вместо остаточного ряда рассмотреть соответствующую отбеленную последовательность наблюдений. Поскольку мы используем вероятностные методы, можно только удостовериться, выполняются ли допущения при требуемом уровне значимости. Соответствующие тесты могут быть получены с помощью теории проверки гипотез. Недостатки методов проверки гипотез, отмеченные ранее, такие как произвольность уровня значимости, здесь не имеют значения, потому что при выборе определенной модели из ряда моделей мы интересуемся прежде всего вопросом о том, удовлетворительна она или нет. [35]
Теория игр, по существу, представляет собой ветвь теории вероятностей. Сама классическая теория вероятностей первоначально развивалась как теория определенных видов игр. В настоящее время некоторые ветви теории вероятностей и ее приложений также оказываются тесно связанными с теорией игр. Сюда относятся прежде всего некоторые главы математической статистики, в которых рассматривается теория проверки гипотез. [36]
Здесь надо не только ввести разумное отношение порядка, но и уметь эффективно описывать по крайней мере семейство допустимых стратегий. Частичное упорядочение позволяет произвести только первоначальный выбор среди стратегий, останавливаясь лишь на допустимых. Таким образом, выбор стратегии зависит от конкретной ситуации. Как уже отмечалось, подход теории оценивания отличается от методов теории проверки гипотез, в которой положение дел резко меняется в зависимости от того, рассматривается ли простой параметрический случай ( см., например, гл. [37]
С нашей точки зрения, центральными проблемами при построении моделей является выбор подходящего класса моделей и проверка адекватности наилучшей модели выбранного класса. Даже если используются методы оптимального оценивания параметров, качество наилучшей модели из неподходящего класса может оказаться плохим по сравнению с качеством соответствующего представителя подходящего класса. Кроме того, обстоятельная проверка адекватности выявляет недостатки выбранного класса и может подсказать более подходящий класс, если только таковой существует. Можно показать, что вопросы сравнения многих важных классов моделей выходят за рамки теории проверки гипотез из-за трудностей при отыскании распределения вероятностей для статистики критерия. Далее, программа проверки адекватности, в которой с использованием теории проверки гипотез подвергаются испытанию только остатки, зачастую неубедительна. По этим причинам разработка разнообразных методов сравнения различных классов и последующая проверка адекватности окончательных моделей являются главными темами данной книги. Дополнительно дается достаточно подробное изложение таких относительно стандартных тем, как методы оценивания параметров и оцениваемость. [38]
Такая оценка осуществляется на основе выборочных данных. Задача определения погрешности выборочной оценки параметров хорошо изучена. Разработан ряд методов оценивания - метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод минимума X2 и др. Они позволяют получать, как правило, состоятельные, асимптотические несмещенные, а в ряде случаев при выполнении довольно общих условий - асимптотически нормальные оценки параметров с математическим ожиданием, равным истинному значению параметра и дисперсией, обратно пропорциональной объему выборки. Однако отметим важный подход, связанный с погрешностью вероятностной модели и основанный на идеях интервального оценивания и теории проверки гипотез. [39]
С нашей точки зрения, центральными проблемами при построении моделей является выбор подходящего класса моделей и проверка адекватности наилучшей модели выбранного класса. Даже если используются методы оптимального оценивания параметров, качество наилучшей модели из неподходящего класса может оказаться плохим по сравнению с качеством соответствующего представителя подходящего класса. Кроме того, обстоятельная проверка адекватности выявляет недостатки выбранного класса и может подсказать более подходящий класс, если только таковой существует. Можно показать, что вопросы сравнения многих важных классов моделей выходят за рамки теории проверки гипотез из-за трудностей при отыскании распределения вероятностей для статистики критерия. Далее, программа проверки адекватности, в которой с использованием теории проверки гипотез подвергаются испытанию только остатки, зачастую неубедительна. По этим причинам разработка разнообразных методов сравнения различных классов и последующая проверка адекватности окончательных моделей являются главными темами данной книги. Дополнительно дается достаточно подробное изложение таких относительно стандартных тем, как методы оценивания параметров и оцениваемость. [40]
Окончил Ленинградский ун-т ( 1938), с 1944 проф. Варинга, доказал, что каждое большое натуральное число есть сумма семи кубов натуральных чисел, установил, что почти для всех модулей верна гипотеза И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете; созданный при этом метод большого решета нашел важные применения в аддитивной теории чисел. Харди - Литлвуда о представимости натуральных чисел суммой простого числа и двух квадратов, аддитивную проблему делителей, проблему делителей Титчмарша и др. В теорию вероятностей и математич. Основные направления исследований: предельные теоремы для независимых случайных величин в неоднородных цепей Маркова, глубокое изучение безгранично делимых законов, характе-ризация распределений свойствами статистик, теория проверки сложных гипотез и теория оценивания. [41]