Cтраница 3
В качестве основного математического аппарата, применяемого в теоретической механике, используется векторное исчисление. Прежде чем перейти к изложению собствен - s но механики, рассмотрим кратко элементар-ные положения теории векторов. [31]
При изложении теоретической механики постоянно приходится пользоваться определениями и теоремами того отдела математики, который носит название теории векторов. [32]
При изложении теоретической механики посюянно приходится пользоваться определениями и теоремами того отдела математики, который носит название теории векторов. [33]
Геометрия на плоскости [77], значительно отличающийся от первого. Курс начинается с изложения теории векторов, которые довольно широко использовались далее. В книге довольно широко применяется теория определителей. [34]
Во-вторых, после классического разрезания проективной плоскости по бесконечно удаленной прямой надо немедленно приступить к построению теории векторов, максимально используя при этом следствия аксиом связи, порядка, непрерывности и параллельности евклидовой геометрии, а затем ввести аффинные координаты. При этом оказывается возможным избежать дублирования соответствующего раздела евклидовой геометрии и по ходу действия установить полноту системы аксиом аффинной геометрии. Кроме того, строгое геометрическое обоснование теории векторов также весьма полезно. Установив полноту системы аксиом проективной геометрии, основные ее факты можно получить в аналитической реализации. [35]
S, будучи приложена к твердому телу, оставляет его в равновесии. По сказанному, система сил, приложенных к твердому телу и находящихся в равновесии, изображается системой скользящих векторов, эквивалентной нулю; следовательно, по установленному выше определению, эквивалентные системы сил изображаются эквивалентными же системами скользящих векторов. Отсюда вытекает, что любая теорема из теории векторов, касающаяся эквивалентных систем, находит свое толкование в статике твердого тела. При частном выборе полюса, а именно, если он взят на центральной оси, результирующая сила и плоскость результирующей пары перпендикулярны друг к другу. Эквивалентные системы сил сообщают точкам твердого тела одни и те же ускорения, но реакции связей, им соответствующие, при одном и том же кинематическом состоянии тела, вообще говоря, будут различны. [36]
Две системы сил S, и S2 мы назовем эквивалентными, если сложная система, составленная из Sl и системы, прямо противоположной S2, или, наоборот, из 6V2 и системы, прямо противоположной Sv будучи приложена к твердому телу, оставляет его в равновесии. По сказанному, система сил, приложенных к твердому телу и находящихся в равновесии, изображается системой скользящих векторов, эквивалентной нулю; следовательно, по установленному выше определению, эквивалентные системы сил изображаются эквивалентными же системами скользящих векторов. Отсюда вытекает, что любая теорема из теории векторов, касающаяся эквивалентных систем, находит свое толкование в статике твердого тела. При частном выборе полюса, а именно, если он взят на центральной оси, результирующая сила и плоскость результирующей пары перпендикулярны друг к другу. Эквивалентные системы сил сообщают точкам твердого тела одни и те же ускорения, но реакции связей, им соответствующие, при одном и том же кинематическом состоянии тела, вообще говоря, будут различны. [37]
Большая наглядность достигается при применении векторного исчисления. Затруднения, связанные с изучением векторного исчисления, с избытком уравновешиваются теми преимуществами, которые дает этот метод. Это есть действительно единственный метод, который с легкостью приспособляется ко всем требованиям задачи, когда речь идет о том, чтобы точно выразить представления Фарадея о потоке сил. Мы ставим поэтому теорию векторов и векторных полей во главу этой книги. Данный способ представления применяется теперь почти всеми исследователями, работающими в области электродинамики. Этим методом, который полезен также в механике твердых тел и в гидродинамике, мы всюду будем пользоваться в следующих главах. [38]
Тут же встречаются термины скалярное произведение и векторное произведение. Почти одновременно независимо от Гамильтона к понятию вектора пришел и Грассман, изложивший основы векторного исчисления в 1844 г. в работе Учение о протяженности, написанной в геометрическом духе. В ней впервые излагается учение об л-мерном евклидовом пространстве. Это Учение содержит как частный случай теорию векторов на плоскости и в трехмерном пространстве. Свой метод геометрического исчисления Грассман применял и к исследованию кривых. [39]
Новая идея Фреше состоит в том, что не обязательно учитывать природу переменной, является ли она числом, линией, функцией или чем-то другим; он фактически предпринял попытку распространить исчисление бесконечно малых на случай, в котором переменная может иметь любую природу. В этом смысле Фреше приблизился к идеям, которые, начиная с 1908 г., развивал Мур [128] в Америке и которые относятся к так называемому общему анализу. Общий анализ предлагает выделить из известных теорий наиболее абстрактные общие понятия и обобщить эти теории исключением из них любых частных свойств, связанных с конкретными элементами, на которых они основаны. Фреше дает пример этого подхода в своей теории векторов. Такой переход от конкретного к абстрактному является обычным для математики. [40]
Если тело находится в равновесии, то результирующий момент активных сил относительно закрепленной точки О должен обращаться в нуль. Заметим теперь, что внутренние силы и реакция в точке О не совершают никакой работы при всяком перемещении тела, не нарушающем неподвижности точки О. Это очевидно для реакции, так как точка приложения ее не перемещается; что же касается внутренних сил, то они эквивалентны нулю ( в смысле теории векторов), и, как мы докажем в гл. XV, эта эквивалентность нулю системы сил достаточна в случае твердых тел ( однако, вообще говоря, не для каких угодно систем) для того, чтобы работа, совершаемая ими, равнялась нулю. [41]
Прежде всего отметим элементарный учебник, рассчитанный на студентов втузов: Александров В.Л. Техническая гидромеханика ( Гос. Иной характер носит прекрасная книга Н.Е. Кочина и Н.В. Розе Введение в теоретическую гидромеханику ( Гос. Вышедшая книга представляет первую часть задуманного авторами обстоятельного учебника по гидромеханике. В вышедшем томе имеем гидромеханику безграничной среды ( общие уравнения идеальной жидкости, теория вихрей, волновое движение), во второй том намечена теория движения твердого тела в жидкости, теория вязкой жидкости. Книга рассчитана на читателей, имеющих весьма солидную математическую подготовку ( теория векторов, теория функций комплексного переменного), и содержит обстоятельное и математически точное изложение основ гидромеханики. Приблизительно такой же характер должна носить и книга Л.Г. Лойцянского Основы механики вязкой жидкости ( Кубуч, Ленинград, 1932); вышел только первый выпуск, содержащий теорию векторов и тензоров, теорию поля и кинематику жидкости. Книга написана для читателей, достаточно подготовленных математически, и широко пользуется методами векторного и тензорного анализа. [42]
С тех пор, как получила право гражданства аналитическая геометрия, различного рода объекты - геометрические, механические, физические - выражались численно определенным количеством координат, и аналитические операциии производились над этими координатами, а не над определяемыми ими объектами. Говорить здесь о той пользе, которую этот метод принес теоретической и прикладной математике, конечно, неуместно. Но, к сожалению, каждый метод, как бы ни были сильны его средства, обыкновенно несет в себе также элементы, ослабляющие его мощь и на известной ступени даже парализующие его действие подобно тому, как поляризация постепенно сводит на нет действие гальванического элемента. В координатном исчислении эти поляризующие силы кроются в усложнении формул, в расщеплении одного соотношения между объектами на ряд соотношений между координатами, в утрате наглядности вследствие чрезмерной арифметизации. Ввиду этого, в XIX столетии начинается некоторая реакция против координатного исчисления; возникают прямые исчисления, которые оперируют непосредственно со сложными объектами. Комплексные числа представляют - собой, невидимому, первые объекты такого рода, над которыми устанавливались формальные операции. Данная Гауссом интерпретация комплексных чисел уже несла с собой в зародыше теорию векторов на плоскости. [43]
Прежде всего отметим элементарный учебник, рассчитанный на студентов втузов: Александров В.Л. Техническая гидромеханика ( Гос. Иной характер носит прекрасная книга Н.Е. Кочина и Н.В. Розе Введение в теоретическую гидромеханику ( Гос. Вышедшая книга представляет первую часть задуманного авторами обстоятельного учебника по гидромеханике. В вышедшем томе имеем гидромеханику безграничной среды ( общие уравнения идеальной жидкости, теория вихрей, волновое движение), во второй том намечена теория движения твердого тела в жидкости, теория вязкой жидкости. Книга рассчитана на читателей, имеющих весьма солидную математическую подготовку ( теория векторов, теория функций комплексного переменного), и содержит обстоятельное и математически точное изложение основ гидромеханики. Приблизительно такой же характер должна носить и книга Л.Г. Лойцянского Основы механики вязкой жидкости ( Кубуч, Ленинград, 1932); вышел только первый выпуск, содержащий теорию векторов и тензоров, теорию поля и кинематику жидкости. Книга написана для читателей, достаточно подготовленных математически, и широко пользуется методами векторного и тензорного анализа. [44]