Cтраница 1
Теория однолистных функций - это глубоко разработан ная область теории аналитических функций. [1]
В теории однолистных функций находят существенные применения и другие весьма разнообразные И. [2]
Первым существенным результатом в теории однолистных функций можно считать следующий результат, полученный Кебе в 1907 году [ 109, стр. [3]
Метод экстремальной метрики удобен в теории однолистных функций еще и потому, что он с одинаковой легкостью применяется к задачам об односвязных и многосвязных областях. Кроме того, он используется во многих вопросах, о которых мы не можем здесь говорить, например, при изучении общих регулярных функций [84], и в проблеме классификации римановых поверхностей. [4]
Более важным для приложений к теории однолистных функций оказывается обобщение, которое возникает при одновременном рассмотрении нескольких семейств кривых. [5]
Большое внимание в ряде исследований теории однолистных функций уделяется доказательству того факта, что для рассматриваемого квадратичного дифференциала Q ( z) dz2 множество Ф пусто. Нахождение условий, обеспечивающих пустоту множества Ф, представляет и самостоятельный интерес. Пример квадратичного дифференциала Q ( z) dz2 на z - сфере, для к-рого множество Ф пусто, дает следующая теорема о трех полюсах: если Л есть z - сфера, Q ( z) dz - - квадратичный дифференциал на Л, имеющий не более трех различных полюсов, то множество Ф пусто. [6]
Исследования вопросов покрытий и искажений в теории однолистных функций ( класс Rt) оказывали в последнее время значительное влияние на развитие исследований в общей теории; работы советских ученых, относящиеся к этой области, прореферированы в предыдущем параграфе. [7]
Метод Левнера постоянно используется в работах по теории однолистных функций. Он часто приводит к успеху при получении явных оценок, но, как правило, не обеспечивает описания экстремальных функций и полной-информации об их единственности. Метод был также распространен на функции, определенные в областях, отличных от единичного круга, в частности, в круговых кольцах [116], но при этом формальные усложнения оказались столь большими, что здесь было получено мало конкретных результатов. [8]
Греч [49-66] был первым, кто разрабатывал теорию однолистных функций единообразно и единым методом, а именно методом экстремальной метрики. Несколько лет спустя Грунский [72] изучил ряд тех же проблем методом контурного интегрирования. [9]
Эта монография посвящена применению метода экстремальных метрик к теории однолистных функций. Поэтому мы не пытались излагать другие методы исследования, если не считать вводной главы, в которой дан краткий обзор развития этой теории. Тем не менее сила излагаемого метода такова, что он позволяет получить большую часть известных ранее результатов теории однолистных функций. Нужно заметить, что здесь метод экстремальных метрик использован для приложений в теории однолистных функций, а многочисленных других его приложений, в частности, к теории квазиконформных отображений, мы не касаемся. Заметим еще, что мы не пытались составить исчерпывающую библиографию, и ссылки сделаны лишь на те источники, которые цитировались в тексте. [10]
Под методом площадей понимают способы решения различных задач теории однолистных функций, использующие теоремы площадей. [11]
Лаврентьев [121] разработал вариационный метод для изучения экстремальных задач теории однолистных функций. Марти [129] использовал очень простой тип вариаций при изучении задачи о максимуме модуля коэффициентов степенных разложений для функций семейства S Бернацкий [17] использовал в некоторых задачах вариационный метод Жюлиа. [12]
Настоящая монография посвящена главным образом приложениям метода экстремальной метрики к теории однолистных функций. Центральная ее тема - общая теорема о коэффициентах, опубликованная в работе [92] и представленная здесь в расширенной форме. [13]
Как уже отмечалось, Греч первый использовал этот метод как метод теории однолистных функций. Он отмечает, что такое использование было подсказано ему работой Фабера. Подход Греча, названный им методом полос, представляет собой весьма существенное усовершенствование рассуждений, связывающих длину и площадь, оперирующее с характеристическими конформными инвариантами двусвязных областей и четырехугольников. [14]
Для ознакомления с исследованиями Г. М. Голу-зина отсылаем к двум его монографиям: Внутренние задачи теории однолистных функций ( Успехи матем. [15]