Cтраница 2
Метод экстремальной метрики нашел первые применения в задачах теории функций и конформных отображений, довольно далеких от центральных проблем теории однолистных функций. В своей простейшей форме этот метод включает возможность с помощью неравен-1 ства Шварца геометрически установить определенные оценки длины кривых и площади некоторой заметаемой ими области. [16]
Вариационный метод имеет то преимущество, что в случаях, когда существование экстремальной функции известно ( это устанавливается обычно в теории однолистных функций методами теории нормальных семейств), он часто автоматически доставляет некоторую информацию об этой функции. Недостаток метода граничных вариаций состоит в том, что его использование связано с трудными проблемами топологии точечных множеств. Недостаток метода внутренних вариаций состоит в том, что этот метод предназначен прежде всего для односвязных областей. Его можно распространить на многосвязные области и на римановы поверхности, но при этом возникают новые трудности. Еще более важно то, что во всех задачах, за исключением самых простых из них, информации, которую дает вариационный метод сам по себе, недостаточно для определения экстремальной функции и требуются вспомогательные методы более сложной природы. Существенная-информация, доставляемая вариационным методом, часто может быть получена непосредственно из принципа Тейхмюллера. [17]
В дальнейшем был дан целый ряд различных доказательств, модификаций и новых формулировок предшествующих результатов, но именно эти результаты и составляют основу теории однолистных функций, построенной к настоящему времени классическими элементарными методами. Для дальнейшего продвижения необ-ходимр одно из двух: либо ограничиться рассмотрением некоторых подклассов семейств, рассмотренных выше, либо развить более мощные методы, применимые к полным семействам. [18]
Через несколько лет после статьи Левнера Голузин [34, 35] обратился к параметрическому методу и использовал его для того, чтобы единообразно вывести основные результаты теории однолистных функций. [19]
ЛЕВНЕРА МЕТОД, метод Л е в н е р а параметрических представлений однолистных функций, параметрический метод Л е в н е р а, - метод в теории однолистных функций, заключающийся в использовании Левнера уравнения для решения якстремальных задач. Метод был предложен К. [20]
Обычное содержание курса по теории аналитических функций ограничивается общими теоремами, их приложениями почти исключительно к однозначным функциям, теоремами существования и простейшими примерами конформного отображения и иногда вопросами, относящимися к теореме Пикара и ее различным обобщениям и к теории однолистных функций. При этом совершенно выпадают такие основные вопросы, как теория алгебраических функций, поверхностей Римана, понятие о жанре алгебраической функции, и вообще все вопросы, связанные с многозначными функциями, характером и классификацией их особых точек, и, наконец, основные понятия теории полиэдрических, модулярных и автоморфных функций, то-есть всех функций, связанных с теорией групп движения, с одной стороны, и с важнейшими вопросами конформного отображения-с другой. [21]
Функции wfa ( z), 0: а2я, известные как функции Кебе, отображают круг z l на плоскость w с разрезом по лучу arg wa, w zl / t, и являются экстремальными в ряде задач теории однолистных функций. [22]
Возможность такого транспонирования и определяет большую методологическую ценность исследований по теории однолистных функций. И примечательным фактом в ее современном развитии является то, что однолистные функции перестают занимать, так сказать, исключительное положение среди аналитических функций. [23]
С экстремальными задачами теории приближении связаны Бернштейна неравенство, Вора - Фавара неравенство и др. В частности, неравенство Бора - - Фа-вара отражает экстремальное свойство Бернулли многочленов. В частности, Кебе функция является экстремальной функцией ряда задач теории однолистных функций. [24]
Однолистность аналитических в круге z [ l функций w f ( z) и w F ( z) определяет наличие замечательных свойств, характеризующих особую регулярность, правильность всего этого класса внутри круга. Выявление этих свойств в точной количественной форме и представляет собой основную задачу теории однолистных функций. [25]
ГРЕТША ПРИНЦИП - теорема в теории конформных отображений, предложенная в 1928 X. Гретшем [1] и используемая при доказательстве неравенств для длин кривых нек-рых семейств и площади занимаемой ими области; TIM же в дальнейшем были разработаны многочисленные применения развитого на этой основе полос метода в теории однолистных функций, заданных в конечносвязных или в босконечносвязных областях. [26]
Методы оценки аналитических функций, основанные на субгармоничности логарифма модуля голоморфной функции, далеко не всегда могут дать достаточно тонкие результаты. В этой главе мы изложим некоторые методы, использующие прямое отыскание экстремальных функций и позволяющие получить более глубокие оценки. Большинство этих методов возникло в связи с теорией однолистных функций и с неванлипновской теорией распределения значений мероморфных функций. Об этих разделах теории аналитических функций также будет кратко рассказано в этой главе. [27]
Метод применим также к вопросам, выходящим за рамки теории однолистных функций. В этой теории он может служить для исследования некоторых проблем, уже изученных методом экстремальной метрики. В частности, он одинаково хорошо применим как к односвязным, так и к многосвязным областям. Однако он страдает тем недостатком, что его нельзя применить к задачам, соответствующим квадратичному дифференциалу с нулями нечетного порядка. При его использовании необходимы также некоторые предположения о поведении исследуемых функций на границе; чтобы впоследствии освободиться от этих предположений, нужны некоторые аппрок-симационные рассмотрения. [28]
Как мы видели, в тех случаях, когда 91-сфера, иногда удается преодолеть это затруднение с помощью вспомогательных конформных отображений всей сферы. В других случаях, когда это уже невозможно, тот же эффект может быть достигнут методом симметризации. Этот метод позволяет, кроме того, обобщить многие результаты теории однолистных функций на многолистные функции. Конечно, при этом нельзя непосредственно применять общую теорему о коэффициентах, но принцип Тейхмюллера и здесь приводит к соответствующему квадратичному дифференциалу. [29]
Эта монография посвящена применению метода экстремальных метрик к теории однолистных функций. Поэтому мы не пытались излагать другие методы исследования, если не считать вводной главы, в которой дан краткий обзор развития этой теории. Тем не менее сила излагаемого метода такова, что он позволяет получить большую часть известных ранее результатов теории однолистных функций. Нужно заметить, что здесь метод экстремальных метрик использован для приложений в теории однолистных функций, а многочисленных других его приложений, в частности, к теории квазиконформных отображений, мы не касаемся. Заметим еще, что мы не пытались составить исчерпывающую библиографию, и ссылки сделаны лишь на те источники, которые цитировались в тексте. [30]