Cтраница 2
Значение геометрии Лобачевского для теории аналитических функций было раскрыто в конце XIX и начале XX веков, в процессе разработки теории автоморфных функций и изучения аналитических функций на римановых поверхностях. [16]
Эта аналогия автоморфных функций Фукса - и Клейна с функциями эллиптическими и была руководящей идеей исследований в этой области творцов теории автоморфных функций, Пуанкаре и Клейна. [17]
Мы не имеем возможности здесь подробно их излагать; но нельзя не остановиться на роли геометрии Лобачевского в создании целой дисциплины большого значения - теории автоморфных функций. Это учение было построено Пуанкаре, главным образом, в. Настоящий очерк имеет в виду выяснить основные задачи этой теории и роль геометрии Лобачевского при их разрешении в изложении, доступном читателю, обладающему основами математического образования. [18]
Вопросы этого рода заставят нас выйти за пределы элементов теории функций комплексного переменного, которыми мы обходились на протяжении всей книги, и привлечь ее высшие разделы, именно теорию автоморфных функций. [19]
Ирония заключается в том, что самоподобные фракталы нашли себе надежное место под солнцем в качестве материала для всевозможных контрпримеров и математических игр, в то время как самоинверсные фракталы образовали узкоспециальный раздел теории автоморфных функций. [20]
В случае, когда область К является кругом или полуплоскостью, становится значительно больше интересных классов автоморфных функций, так как появляется больше различных групп. Теория автоморфных функций берет свое начало с изучения модулярных функций, тесно связанных с эллиптическими функциями. [21]
Можно показать, что всякая собственно прерывная группа имеет фундаментальную область. Для теории автоморфных функций чрезвычайно важно, что, задавая фундаментальные области. [22]
Они вошли в теорию автоморфных функций ( см. главу 18), прославивших Пуанкаре и Клейна. В этом же направлении работал и Поль Пенлеве ( 1863 - 1933), ученый, к которому прислушивались и люди, далекие от чистой математики. [23]
Кроме того, основные вопросы теории автоморфных функций систематически изложены в книге Г о-луб ев а [16], посвященной аналитической теории дифференциальных уравнений. [24]
Книга состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются задачи теории представлений и теории автоморфных функций, связанные с группой Ли и ее дискретной подгруппой. Хотя отдельные вопросы этой главы носят общий характер, основные результаты относятся к группе вещественных матриц 2-го порядка и ее дискретной подгруппе. [25]
Группы, коэффициенты которых зависят от некоторых непрерывных параметров, называются непрерывными. Такие группы дробно-линейных преобразований не имеют приложения в теории автоморфных функций. [26]
Для наших целей достаточно знания лишь простейших фактов из теории автоморфных функций, которые мы здесь для удобства читателя приведем. [27]
Картаном который использовал кососимметриче-ские тензорные поля ( с нижними индексами) на многообразиях - дифференциальные формы - и оператор d, уже обсуждавшийся выше. Отдельные важные типы 1-форм и 2-форм, их глубокие топологические и алгебро-геометрические свойства и важные применения были изучены и осуществлены еще Пуанкаре в связи с задачами теории автоморфных функций ( и форм), некоторыми свойствами гамильтоновых систем; однако полная систематизация теории была дана, как уже сказано, Картаном. [28]
Обычное содержание курса по теории аналитических функций ограничивается общими теоремами, их приложениями почти исключительно к однозначным функциям, теоремами существования и простейшими примерами конформного отображения и иногда вопросами, относящимися к теореме Пикара и ее различным обобщениям и к теории однолистных функций. При этом совершенно выпадают такие основные вопросы, как теория алгебраических функций, поверхностей Римана, понятие о жанре алгебраической функции, и вообще все вопросы, связанные с многозначными функциями, характером и классификацией их особых точек, и, наконец, основные понятия теории полиэдрических, модулярных и автоморфных функций, то-есть всех функций, связанных с теорией групп движения, с одной стороны, и с важнейшими вопросами конформного отображения-с другой. [29]
Значение этих функций в анализе определяется прежде всего тем, что большинство простейших функций является функциями автоморфными. Более глубокие основания для выделения класса автоморфных функций состоят в том, что развитие их теории приводит к ряду сложнейших проблем математического анализа. Теория автоморфных функций тесно связана с теорией алгебраических функций, в частности с задачей униформизапии алгебраических функций, а также и с более общей задачей униформизации многозначных аналитических функций которая, как это было показано в предыдущих главах, в свою очередь связана с задачей интегрирования линейных дифференциальных уравнений. [30]