Cтраница 3
Основы теории автоморфных функций были заложены Клейном и Пуанкаре. Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций. [31]
С точки зрения теории автоморфных функций это - автоморфные формы соответственно веса 2, 3 и 6, ассоциированные с модулярной группой. [32]
Именно поэтому в книге опущены вопросы, требующие для своего понимания знания теории функций действительного переменного и функционального анализа. Из теории функций комплексного переменного и дифференциальных и интегральных уравнений используются только начала. Исключение составляет конец книги ( § § 51, 52, 53), где требуется знание основ теории автоморфных функций. Читатели, желающие ознакомиться с теорией более полно, должны обратиться к специальным сочинениям. [33]
Недостаток места иногда заставлял автора отступать от принятого стиля изложения и излагать материал конспективно; однако такого рода вопросы в большинстве своем не являются основными и изложены мелким шрифтом. Именно поэтому в книге опущены вопросы, требующие для своего понимания знания теории функций действительного переменного и функционального анализа. Из теории функций комплексного переменного и дифференциальных и интегральных уравнений используются только начала. Исключение составляет конец книги ( § § 51 52), где требуется знание основ теории автоморфных функций. Читатели, желающие ознакомиться с теорией более полно, должны обратиться к специальным сочинениям. [34]
Группа таких преобразований является факторгруппой группы SL ( 2, Z) унимоду-лярных матриц второго порядка с целочисленными элементами по ее центру. Так впервые была установлена связь теории групп и важного класса функций. В дальнейшем развитии теории автоморфных функций важную роль играли геометрические соображения, связанные с тем, что группа дробнолинейных преобразований с вещественными элементами может быть реализована как группа движений плоскости Лобачевского. [35]
Такие отображения имеют непосредственное отношение и ко многим другим задачам, решаемым для односвязных областей с помощью конформных отображений. С их помощью, например, решается задача Дирихле для многосвязной области. При рассмотрении отображений многосвязных областей функциями, аналитическими в этих областях, естественным образом возникают некоторые алгебраические вопросы, так как с каждым таким отображением связывается так называемая группа автоморфизмов. В конце главы мы познакомимся с модулярной функцией и коротко изложим простейшие вопросы из теории эллиптических и автоморфных функций. [36]
Если интуитивное постижение подлежащих открытию взаимосвязей простиралось столь далеко, что позволяло прояснять все до мельчайших подробностей, то Клейн достигал совершенства. Но стоило появиться остатку, преодолеть который можно было лишь путем такого сосредоточения логических усилий, в котором ничто не упускается из виду, как Клейн отступал. Девиз Гаусса Nil actum reputans si quid superesset agendum ( He считать ничего сделанным, если еше что-нибудь осталось сделать) был отчеканен не для него. Так, Клейн в порыве поистине божественного откровения провидел и сформулировал теорему об униформизации, но в ее обосновании Пуанкаре обошел его. Замечу, кстати, что теория аналитических функций стала ареной особенно азартных состязаний, исход которых, подобно завоеванию Южного полюса, определялся мизерной разницей в несколько дней: Абель и Якоби оспаривали друг у друга право считаться основоположником теории эллиптических функций, Клейн и Пуанкаре соперничали в создании теории автоморфных функций. У Клейна способность к открытию нового и дар предвидения не уравновешивались executor power14, как метко выразился Харди. Может быть, своеобразие Клейна лучше всего обнаруживается по контрасту с этим выдающимся математиком наших дней. Изощренная тонкость математической мысли, головоломные трюки, позволяющие доказывать результаты, еше определенно не созревшие для того, чтобы можно было уяснить их исходные принципы, - все эти орудия первооткрывателей, прокладывающих новые пути в математической пустыне, были свершенно чужды Клейну. [37]
Но более того, развитие ее приводит к общему решению задачи о форме фундаментальной области, соответствующей любой автоморфной функции. Такой фундаментальной областью при отображении на гиперболическую плоскость всегда служит прямолинейный многоугольник. За исключением простейшего случая, который мы рассмотрели выше, когда фундаментальными областями служат треугольники, во всех других случаях фундаментальные области, будучи отображены на гиперболической плоскости, представляют собой многоугольники с четным числом сторон. Противоположные стороны такого многоугольника всегда конгруэнтны между собой. Эти многоугольники, обладают и некоторыми другими особенностями, перечислять которые здесь вряд ли уместно. Существенно лишь то, что вся задача о разыскании фундаментальных областей автоморфных функций сводится к нахождению конгруэнтных многоугольников определенного типа, на которые может быть разбита всякая гиперболическая плоскость. Почти во всех мемуарах Пуанкаре говорит, что геометрия Лобачевского служила ему в этих исследованиях руководящею нитью. Однако он прибавляет, что избегает в своем изложении пользоваться неевклидовой геометрией, так как с нею математики недостаточно знакомы. Это было около семидесяти лет тому назад, когда неевклидова геометрия, еще недавно признанная, действительно была мало известна. В настоящее время теория автоморфных функций всегда излагается на базе геометрии Лобачевского. [38]