Cтраница 1
Теория вещественных чисел подробно излагается в нашей книге Математический анализ ( Функции одного переменного), Наука, 1969, гл. В дальнейшем обозначаем эту книгу через ФОП. [1]
Теория вещественных чисел подробно излагается в нашей книге Математический анализ ( Функции одного переменного), Наука, 1969, гл. [2]
Теория вещественных чисел не может, конечно, рассматриваться как глава математического анализа. Построение ее есть дело теории чисел и теории множеств. Однако числа образуют собой ту среду, в которой живут и развиваются все понятия математического анализа, и потому невозможно полноценное обоснование анализа до тех пор, пока свойства этой среды не будут изучены до конца. Поэтому только после создания законченной общей теории континуума математический анализ обретает свое современное лицо. [3]
При построении теории вещественных чисел существование точной верхней грани для каждого ограниченного сверху подмножества множества вещественных чисел принимается в качестве аксиомы полноты множества вещественных чисел. [4]
Аккуратное построение теории вещественных чисел опирается на дедекиндовы сечения. Рациональные числа с арифметическими операциями далее предполагаются известными. [5]
Доказательство этих предложений основывается на теории вещественных чисел и действий над ними. Изложению этой теории и доказательству упомянутых выше предложений будут посвящены следующие номера. [6]
На этом мы заканчиваем изложение элементов теории вещественных чисел, необходимых для построения курса математического анализа. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел читатель может найти в приложении в конце книги. [7]
Достаточно дословно повторить доказательство, данное в теории вещественных чисел ( си. [8]
Достаточно дословно повторить доказательство, данное в теории вещественных чисел ( см. выпуск Основы математического анализа, часть 1, гл. [9]
Достаточно дословно повторить доказательство, данное в теории вещественных чисел ( см. выпуск Основы математического анализа, часть Г, гл. [10]
Достаточно дословно повторить доказательство, данное в теории вещественных чисел ( см. выпуск Основы математического анализа, часть 1, гл. [11]
О Достаточно дословно повторить доказательство, данное в теории вещественных чисел ( см. выпуск Основы математического анализа, часть I, гл. [12]
Систематическое изложение предмета начинается в первой части с теории вещественных чисел ( гл. Под вещественными числами мы понимаем набор объектов, удовлетворяющих некоторым определенным аксиомам. Существуют и иные построения теории вещественных чисел, где то, что мы принимаем за аксиомы, доказывают, исходя ( в строгом изложении - например в известном курсе Ландау) из аксиом натуральных чисел и теории множеств. [13]
Сейчас в аналогичном теории колебаний сплошных сред и теории вещественных чисел положении находится квантовая теория поля, доставляющая наиболее поразительные математические результаты, но не их обоснования. [14]
По-видимому, в современной математике не существует построения теории вещественных чисел, свободного от этого недостатка. Вопрос здесь далеко ие технический, а упирающийся в самые основы математического мышления. Во всяком случае, раз это так, расположение начального пункта в общей схеме анализа становится, в общем, не очень существенным, и мы выбираем его по соображениям наибольшей возможной близости к собственно аналитическим построениям. В качестве иллюстрации устанавливается единственность ( с точностью до изоморфизма) структуры вещественных чисел. Вводятся структуры n - мерного пространства и поля комплексных чисел. [15]