Cтраница 2
Напротив, если не предполагать, что теория абстрактных множеств в нашем распоряжении, то непротиворечивость теории вещественных чисел невозможно свести к непротиворечивости арифметики и снова становится необходимым дать этой теории независимую аксиоматическую характеризацию. [16]
В главе V ( § 2) мы увидим, как из этих аксиоматических основ с необходимостью развертывается теория вещественных чисел. [17]
Это приводит в итоге к общей концепции топологического пространства, концепции, не зависящей от какой бы то ни было предваряющей ее теории вещественных чисел. Выбор налагаемых на окрестности аксиом, очевидно, до некоторой степени произволен, и исторически он был предметом продолжительных поисков ( см. Исторический очерк к гл. Система аксиом, на которой, в конце концов, остановились, вполне отвечает потребностям современного анализа, не впадая при этом в чрезмерную и беспредметную общность. [18]
Именно тот факт, что равенство отношений определяется Ев-доксом с помощью бесконечного множества неравенств типа 1) или 3), вызывал много трудностей для понимания его теории, предвосхитившей теорию вещественных чисел Дедекинда. С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал, что объем пирамиды равен 1 / 3 объема призмы с тем же основанием и высотой и другие предложения. [19]
Это приводит к, по существу, неоправданному усложнению аксиоматики, поскольку, скажем, аксиомы, описывающие расположение точек на прямой, на самом деле ничем не отличаются от соответствующих аксиом теории вещественных чисел, так что в рамках независимой аксиоматики геометрии приходится заново строить большой фрагмент теории вещественных чисел. Кроме того, требование независимости запрещает использовать даже простейшие понятия теории множеств, что, естественно, также вносит определенные трудности. [20]
Это приводит к, по существу, неоправданному усложнению аксиоматики, поскольку, скажем, аксиомы, описывающие расположение точек на прямой, на самом деле ничем не отличаются от соответствующих аксиом теории вещественных чисел, так что в рамках независимой аксиоматики геометрии приходится заново строить большой фрагмент теории вещественных чисел. Кроме того, требование независимости запрещает использовать даже простейшие понятия теории множеств, что, естественно, также вносит определенные трудности. [21]
На этом мы заканчиваем изложение элементов теории вещественных чисел, необходимых для построения курса математического анализа. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел читатель может найти в приложении в конце книги. [22]
Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. Книга включает теорию вещественных чисел, теорию пределов и непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, теорию числовых рядов, дифференциальное исчисление многих переменных. [23]
Этому вопросу слишком много уделяется времени в теории вещественных чисел, уже знакомой учащемуся. [24]
Начав рассказывать, как требовалось программой, теорию вещественных чисел, я почувствовал, что все мои усилия напрасны. [25]
Коши в его - Курсе анализа 1821 г. ( X) во всех отношениях корректным способом, отправляющимся от критерия Коши, сформулированного четким образом и допущенного как очевидный; так как в том, что касается определения числа, Коши придерживался точки зрения Барроу и Ньютона, то можно сказать, что для пего вещественные числа определялись аксиомами величин и критерием Коши, что и в самом деле достаточно для их определения ( см. гл. К этому же времени окончательно выясняется другой важный аспект теории вещественных чисел. [26]
Из элементарного курса читатель имеет представление о вещественных числах и о том, что они необходимы, например, для измерения отрезков и промежутков времени. Для углубления наших представлений о важнейших математических понятиях - понятиях переменной величины, функции и предела - требуется дальнейшее развитие теории вещественных чисел. [27]
Куратовский в [1933] доказал теоремы 4.3.3, 4.3.10 и 4.3.13; в [1930] он обнаружил, что условие теоремы Кантора достаточно для полноты. Пополнение метрического пространства было описано Хаусдорфом в [1914] ( единственность была отмечена в [1927]); конструкция Хаусдорфа ( см. задачу 4.5.6) связана с теорией вещественных чисел Кантора-Мерэ. Теорема 4.3.24 легко следует из факта, установленного Лаврентьевым в [1924] ( для подмножеств евклидовых пространств - Мазуркевичем в [1916]), что свойство быть 06-множеством в полном пространстве топологически инвариантно. Теорема 4.3.26 была доказана Чехом в [1937]; из нее следует, что теорема Бэра о категории имеет место для всех пространств, метризуемых полной метрикой ( ср. [28]
Систематическое изложение предмета начинается в первой части с теории вещественных чисел ( гл. Под вещественными числами мы понимаем набор объектов, удовлетворяющих некоторым определенным аксиомам. Существуют и иные построения теории вещественных чисел, где то, что мы принимаем за аксиомы, доказывают, исходя ( в строгом изложении - например в известном курсе Ландау) из аксиом натуральных чисел и теории множеств. [29]
Тезис о простоте изложения означает прежде всего простоту построения курса в целом, такую его структуру, при которой делаются акценты на главные принципиальные идеи, и большая часть времени и внимания уделяется основным методам и фактам, ради которых читается данный курс. Вспомогательное и второстепенное должно явным образом занимать подчиненную роль и не требовать усилия для своего усвоения. Так, например, хотя теория вещественного числа является базисом математического анализа, в технических высших учебных заведениях нецелесообразно уделять ей много времени, так как она в этом случае является вспомогательной, а не основной частью курса математики. [30]