Cтраница 3
Тезис о простоте изложения означает, прежде всего, простоту построения курса в целом, такую его структуру, при которой делаются акценты на главные принципиальные идеи, и большая часть времени и внимания уделяется основным методам и фактам, ради которых читается дандый курс. Вспомогательное и второстепенное должно явным образом занимать подчиненную роль и не требовать усилия для своего усвоения. Так, например, хотя теория вещественного числа является базисом математического анализа, в технических высших учебных заведениях нецелесообразно уделять ей много времени, так как она в этом случае является вспомогательной, а не основной частью курса математики. [31]
Этот интуитивно прозрачный результат в определенном смысле - стержневой. Его доказательство распутывает все остальное, включая критерий Коши. Уровень строгости, естественно, определяется выбором теории вещественных чисел. В нашем варианте у растущей и ограниченной последовательности с увеличением п перестает меняться все большее число знаков после запятой. [32]
Построение заключалось в том, что мы указали систему объектов, условно назвав их точками и прямыми, и систему отношений между ними, для которых выполняются все утверждения, содержащиеся в аксиомах евклидовой геометрии. Вывод, что эти утверждения действительно верны, мы сделали на основании соответствующих теорем, относящихся к теории вещественных чисел. А так как эти теоремы в конечном счете выводятся из аксиом арифметики, то мы можем гарантировать построение декартовой реализации только при условии непротиворечивости системы аксиом арифметики. Таким образом, мы получаем решение вопроса о непротиворечивости системы аксиом евклидовой геометрии в следующей форме. [33]
Открытие рефлексивного парадокса, состоящего в том, что понятие класса всех классов, которые не являются членами самих себя, является противоречивым, привело к возникновению трех новых направлений в математике. Эта теория привела к значительным усложнениям в построении арифметики, ибо она исключала не только парадоксы, но также и некоторые конструкции, лежащие в основе теории вещественных чисел, такие, как наименьшая верхняя граница ограниченного класса чисел, а восстановление возможности этих конструкций вызвало необходимость введения аксиомы, связывающей с пропозициональной функцией ( пропозициональной формой с одной переменной), аргумент которой имеет своей областью изменения объекты данного типа, некоторую пропозициональную форму с теми же истинностными значениями, аргумент которой имеет своей областью изменения объекты первого типа. [34]
Им и приписывает история открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой. Окончательное же оформление теории вещественных чисел было завершено лишь в конце XIX в. Различные по форме, эти теории выясняли одну и ту же проблему - существо непрерывности числовой прямой. [35]
Настоящая сводка задумана, прежде всего, как пекоторый справочник: для каждого из основных понятий топологии мы старались сгруппировать и возможно более кратком виде все существенные результаты, в которых опо участвует, так, чтобы при необходимости его использования оно было сразу под рукой. В частности, собраны вместе признаки, позволяющие утверждать, что некоторое мнозкество или отображение обладает тем или другим свойством, например быть компактным или непрерывным. Этот способ изложения, с одной стороны, порождает повторения: например, теорема, утверждающая, что образ компактного множества при непрерывном отображении ( в отделимое пространство) компактен, находится и в параграфе, посвященном непрерывным функциям, и в параграфе, посвященном компактным пространствам. С другой стороны, очень часто понятие упоминается в параграфе, предшествующем тому, в котором оно определено; указатель терминов, помещенный в конце книги, отсылает тогда к тому месту, где дано определение. Разумеется, знакомство с понятиями и результатами книг I и II, используемыми в кпиге III, предполагается; кроме того, предполагается, что читатель знаком с теорией вещественных чисел. [36]