Cтраница 1
Теория делимости в Z выглядит элегантнее, если ее формулировать с помощью идеалов; линейная зависимость и независимость векторов выглядит элегантнее, если исходить из теоремы Штейница о замене. На более высокой ступени многое проходит элегантнее, особенно если нам разрешается оставаться на низшей ступени. [1]
Теория делимости многочленов приводит к важным свойствам рациональных дробей: она отвечает на вопрос о сокращении рациональных дробей путем деления обоих членов на общий делитель. [2]
Исторически теория делимости целых алгебраических чисел была создана в связи с теоремой Ферма. Поскольку эта мотивация теории сохраняет всю свою силу и сегодня, мы имеем уникальную возможность объединить концептуальный подход с историческим. Изложение начинается с теоремы Ферма, и теория постепенно развертывается с единственной, формально, целью - доказать эту теорему. Очень быстро это делается для некоего класса простых показателей, а все дальнейшее преподносится как постепенная расшифровка этого класса и представление его в удобной алгоритмической форме. [3]
Важнейшими понятиями теории делимости являются понятия идеала и главного идеала ( АТЧ III, § 2 гл. [4]
Благодаря этому, теория делимости в этом кольце служит основой доказательства теоремы Ферма для кубов. [5]
Из-за ограниченной возможности деления с остатком теория делимости в кольце многочленов над произвольной областью целостности не может быть построена так, как это было сделано в кольце многочленов над полем. Тем не менее оказывается, что если в кольце / С имеет место однозначное разложение на простые множители ( как, например, в кольце Z целых чисел), то и кольцо К. Доказательству этого факта и посвящен настоящий параграф. [6]
В таком кольце имеют смысл все основные понятия теории делимости целых чисел, и их свойства аналогичны свойствам, известным из элементарной арифметики. [7]
Взгляд на Я-матрицы как на матричные многочлены позволяет развивать для Я-матрнц теорию делимости, аналогичную теории делимости для числовых многочленов, но усложняемую, понятно, некоммутатнвностыо умножения матриц н наличием делителей нуля. Мы ограничимся лишь вопросом об алгоритме делен и я с остатком. [8]
Для решения кросснамбера на рис. 41 необходимо знакомство с некоторыми сведениями из теории делимости чисел. Тем не менее мы считаем, что можем спокойно предлагать его вниманию читателя нашей книги. [9]
При переходе от полей к произвольным коммутативным кольцам возникает качественно новое явление - нетривиальная теория делимости. Классическим примером теории делимости является теория делимости в кольце Z: она была построена еще в античности. Основная теорема этой теории заключается в том, что целое число однозначно разлагается в произведение простых множителей. [10]
Взгляд на Я-матрицы как на матричные многочлены позволяет развивать для Я-матрнц теорию делимости, аналогичную теории делимости для числовых многочленов, но усложняемую, понятно, некоммутатнвностыо умножения матриц н наличием делителей нуля. Мы ограничимся лишь вопросом об алгоритме делен и я с остатком. [11]
Возвращаясь к многочленам с коэффициентами из произвольного поля Р, заметим, что на этот случай переносится по существу вся теория делимости многочленов, изложенная в § § 20 - 22 нашей книги. Далее, в-кольце Р [ х ] имеет смысл понятие делителя и сохраняются все его основные свойства. При этом то обстоятельство, что алгоритм деления не выводит за пределы основного поля Р, позволяет утверждать, что свойство многочлена у ( х) быть делителем для / ( х) не зависит от того, рассматриваем ли мы поле Р или же его любое расширение. [12]
Историки науки многократно подчеркивают, что Нью-Йоркская конференция явилась историческим поворотным моментом: в декабре 1940 года впервые была развита теория делимости неизвестного 94-го элемента. Однако в это время всемирный обмен научными идеями был уже сильно ограничен секретными преградами, поставленными войной. [13]
Егор Иванович Золотарев ( 1847 - 1878), профессор Петербургского университета и адъюнкт Академии наук, одновременно с Дедекиндом разработал теорию делимости в полях алгебраических чисел. В отличие от Дедекинда, положившего в основу своей теории понятие идеала, Е. И. Золотарев строил теорию делимости фактически на понятии нормирования. [14]
Для изучения многомерного случая мы предварительно в § § 3 и 4 рассмотрим некоторые вопросы как теории функций многих комплексных переменных, так и теории делимости. [15]