Cтраница 2
VII-IX книгах Начал ( 1948) Башмакова, проведя различие между употребляемыми Евклидом в этих книгах числами-кратностями и числами-отрезками, показала, что евклидова теория делимости целых чисел-отрезков построена столь же строго, как и собственно геометрические книги Начал; между тем даже такой авторитетный знаток античной математики, как Цейтен, усматривал в этой теории неполноту и, более того, наличие порочного круга. [16]
Это не значит, конечно, что в живом педагогическом процессе метры и килограммы должны быть впервые упоминаемы лишь после окончания учения о целых числах, включая теорию делимости. Разумеется, уже в работе над целыми числами учащиеся должны знакомиться с основными мерами; не будет ничего плохого, если уже при изучении целых чисел учащиеся прочитают тот или другой параграф из раздела, посвященного мерам и измерению; но учебник как цельное и систематическое руководство не может и не должен в точности воспроизводить живой педагогический процесс. [17]
При переходе от полей к произвольным коммутативным кольцам возникает качественно новое явление - нетривиальная теория делимости. Классическим примером теории делимости является теория делимости в кольце Z: она была построена еще в античности. Основная теорема этой теории заключается в том, что целое число однозначно разлагается в произведение простых множителей. [18]
Совокупность всех целых чисел данной области, очевидно, есть идеал; этот идеал мы будем обозначать через 1 и называть основным идеалом данной области. Он играет в теории делимости роль единицы, ибо на него делится всякий другой идеал, в силу принятого нами определения делимости. Идеал Р, отличный от 1 и не имеющий других делителей кроме Р и 1, мы будем называть простым или абсолютно простым идеалом. [19]
Целые алгебраические числа делятся на области ] внутри каждой области ( с одной из таких областей мы имели дело в предыдущем параграфе) имеют место законы делимости и разложения чисел на множители, во многом напоминающие ( а часто и прямо повторяющие) аналогичные законы для обыкновенных целых чисел; но в одном пункте имеется замечательное различие: именно, всякое обыкновенное целое число, как мы знаем, может быть разложено на абсолютно простые множители единственным образом; алгебраическое же целое число, вообще говоря, несколькими различными способами может быть разложено на простые множители. Это обстоятельство делает теорию делимости для алгебраических чисел гораздо более сложной, чем для чисел обыкновенных; именно оно и послужило главным препятствием на пути к доказательству теоремы Ферма. [20]
В о дной из предыдущих глав курса алгебры и теории чисел ( АТЧ III, § 2 гл. II) была изложена теория делимости в произвольных евклидовых кольцах. [21]
При переходе от полей к произвольным коммутативным кольцам возникает качественно новое явление - нетривиальная теория делимости. Классическим примером теории делимости является теория делимости в кольце Z: она была построена еще в античности. Основная теорема этой теории заключается в том, что целое число однозначно разлагается в произведение простых множителей. [22]
То что кольцо не является факториальным, не означает, что у него нет интересной теории делимости. Наоборот, в этом случае теория делимости и становится особенно нетривиальной. Подробнее об этом будет сказано в следующем параграфе. [23]
Иными словами, сложение и умножение многочленов, определенные в § 20, превращаются при теоретико-функциональной точке зрения на многочлены в сложение и умножение функций, понимаемые в смысле сложения или умножения соответственных значений этих функций. Сейчас будет показано, что это понятие целиком относится к той теории делимости многочленов, которая была предметом изучения в предшествующем параграфе. [24]
Собственно говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он без всякого обоснования перенес на числа вида ( 1) рассуждения, эксплуатировавшиеся до него лишь в области целых чисел. Например, он пользовался для чисел ( 1) простейшими фактами теории делимости, никак это не оправдывая. [25]
Егор Иванович Золотарев ( 1847 - 1878), профессор Петербургского университета и адъюнкт Академии наук, одновременно с Дедекиндом разработал теорию делимости в полях алгебраических чисел. В отличие от Дедекинда, положившего в основу своей теории понятие идеала, Е. И. Золотарев строил теорию делимости фактически на понятии нормирования. [26]
Настоящая книга представляет собой учебное пособие для студентов-заочников педагогических институтов. Она написана в соответствии с действующей программой и посвящена алгебре многочленов, которая составляет последнюю ( четвертую) часть курса Алгебра и теория чисел. Предполагаются известными основные понятия теории колец и теория делимости в евклидовых кольцах. [27]
Следующая крупная глава арифметики связана с расширением области целых чисел до области целых алгебраических чисел. Последняя не является конечно порожденным кольцом, и сходство с арифметикой Z сохраняют лишь ее подкольца, состоящие из целых чисел конечных расширений Q. Исторически необходимость расширения Z была вызвана прямыми арифметическими нуждами, скажем, для исследования уравнения Ферма методом спуска очень полезна теория делимости в кольце, порожденном корнями из единицы. Но постепенно на первый план выдвигалось принципиально новое обстоятельство - существование фундаментальной группы симметрии теории чисел, группы Галуа поля всех алгебраических чисел Gal ( Q / Q) и открытие того, что самая важная арифметика закодирована в ее структуре. Вероятно, Гаусс был первым, кто ясно понял это. Уже в его юношеской работе о построении правильных многоугольников подчеркнуто, что возможность построения циркулем и линейкой зависит не от видимой геометрической симметрии задачи, а от глубоко скрытой симметрии Галуа. Его последующее глубокое обдумывание квадратичного закона взаимности ( восемь доказательств. [28]
Однако нас прежде всего интересует общий анализ, в котором все факторы являются переменными на огибающей кривой. Установить, как это обычно делается, что наилучшие пропорции - это отдельная проблема, решение которой открывает дорогу другой особой проблеме масштаба производства, определенной как воспроизводство этих наилучших пропорций для всех совокупных расходов, - способ не раздробить комплексную проблему на части, но совершенно ее исказить. Причина в том, что процедура, находящая наилучшие пропорции, выявляет также наилучшие общие расходы, и vice versa, потому что в обоих случаях эта процедура находит точку минимума на огибающей кривой. Поставить вопрос о масштабе производства, как это делается обычно, в терминах воспроизводства оптимальных пропорций при других объемах производства ( кривая СР) - значит создать совершенно надуманную проблему. Сделать еще шаг и установить, как это обычно делается, не только то, что наилучшие пропорции не зависят от размера ( совпадение кривой СР с огибающей кривой), но и то, что ( согласно теории совершенной делимости) они при одном размере не лучше, чем при другом ( превращение кривой СР в горизонталь), - это значит разделить два элемента с помощью крайней, но весьма эффективной уловки - полной ликвидации одного из них; тем самым одновременно уничтожается фирма и одновременно возникает множество надуманных проблем. [29]
В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин - площадями. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд ( эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2 - й пол. В книге V дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом, Книдским ( 4 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии ( книга VI) и метода исчерпывания ( книга XII), также восходящих к Ев-доксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремн об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное по существу теории рациональных чисел. В книге X на этой основе дается классификация квадратичных и биквадратичных иррацио-нальностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для определения ребер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII ( а вероятно, и VII) принадлежит Теэтету ( начало 4 в. В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношений объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. XIV и XV, не принадлежащие Евклиду. Содержание их не представляет большого научного интереса. [30]