Cтраница 3
ПРЕДМЕТНЫЙ ЯЗЫК - язык, являющийся предметом изучения. При формализации какой-либо содержательной теории различают два языка. Другой - это язык, на к-ром формулируются упомянутые выше синтаксические и семантич. Обычно метаязык не формализуется. [31]
Могут представиться два случая: либо в пространстве V можно найти произвольное число линейно независимых векторов ( системы векторов произвольного ранга), и тогда оно называется бесконечномерным, либо все достаточно большие системы векторов в V линейно зависимы. Бесконечномерные линейные пространства, содержательная теория которых предполагает наличие в них дополнительной, обычно топологической структуры, будут рассматриваться лишь эпизодически. [32]
К настоящему времени развита содержательная теория йордановых алгебр, не обязательно конечномерных. [33]
В этом параграфе мы введем дальнейшие метаматематические определения ( называемые дедуктивными правилами, или правилами преобразования) которые превращают формальную систему в дедуктивную теорию. Чтобы подчеркнуть аналогию с содержательной теорией, мы начнем с перечня постулатов; однако для метаматематики они являются не постулатами в смысле допущений, каковыми они действительно не могут быть, поскольку официально они не имеют смысла, а только формулами и формами ( или схемами), к которым мы будем прибегать, давая определения. [34]
Можно добавить, что всякое односвязное полное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны изометрично шару Вп с гиперболической метрикой Пуанкаре - Лобачевского. На этом пути и возникает исключительно содержательная теория с разнообразными приложениями к дифференциальной геометрии, теории гармонических функций на симметрических пространствах, общей теории гиперболических многообразий, теории разрывных групп, эргодической теории и другим областям математики. [35]
Сразу же после публикации группой Л.С.Понтрягина основных результатов теории начали появляться многочисленные работы, связанные с применением принципа максимума и его всесторонним исследованием. Здесь мы изложим основные результаты этой содержательной теории. Более подробно с ней можно ознакомиться по литературе, список которой приведен в конце книги. [36]
Содержательная теория алгоритмов подготовлена усилиями многих программистов - практиков и теоретиков, но стала она возможной благодаря основополагающим работам математиков, создавших традиционные теории алгоритмов. Многие математики уже трудятся над проблемами содержательной теории алгоритмов. [37]
Например, наличие большого числа параметров в уравнениях, полученных по некоторым существующим методам ( из которых некоторые параметры с физической точки зрения не интерпретируются), делает задачу подгонки теоретической кривой к фактическим данным достаточно легкой ( гибкой), создавая иллюзию очень высокой достоверности теории. Следует заметить, что из - двух содержательных теорий ( моделей), примерно одинаково хо-м рошо описывающих факты, необходимо, по-видимому, отдать пред - т почтение той, которая содержит меньшее число параметров, над-эг лежащим образом интерпретируемых с физической точки зрения. [38]
Читаю очень тщательно и с большим интересом мемуар von Neumann а о почти периодических функциях на группах. Это все-таки замечательное произведение, неожиданное тем, что такая содержательная теория строится буквально на пустом месте rein begrifflich ( чисто отвлеченно - нем. [39]
Траекторная эквивалентность для систем с классическим временем неинтересна: если инвариантная мера непрерывна, то любые два эргодич. Однако для систем с неклассическим временем траекторная эквивалентность приводит к содержательной теории. [40]
Голоморфно полные комплексные пространства. Разобранные в предыдущих пунктах примеры показывают, что для построения содержательной теории функций, сходной с теорией голоморфных функций одного переменного на некомпактных римановых поверхностях, следует как-то ограничить совокупность рассматриваемых комплексных пространств. Должен быть выделен класс комплексных пространств: 1) сходных по своим свойствам с некомпактными римановыми поверхностями; 2) на которых существует достаточно много голоморфных функций. [41]
Таким образом, гипотетическая модель явления необходима как для описания его механизма и структуры, так и для организации процесса его дальнейшего исследования. Однако такая модель не раскрывает сущности реального механизма взаимосвязей, присущих данному явлению и не заменяет содержательной теории, той предметной области, которая исследуется в данном случае. [42]
Мы пришли к понятию полугруппы, заметив, что в некоторых из определений группы участвует бинарная ассоциативная операция. Первое определение группы из § 2 после удаления из него требования ассоциативности умножения приводит к другому важному понятию, также ставшему в последнее время предметом содержательной теории. [43]
Наша формальная система арифметики отличается от содержательной теории тем, что логика применяется в ней явно. Мы уже довели наше знакомство с логикой до тйкого состояния, что дальнейшее построение арифметики в формальной системе может развиваться методом, хорошо известным нам из содержательной теории. Мы не будем систематически продолжать это построение, а только отметим некоторые его особенности, прежде чем перейти к общим метаматематическим вопросам о нашей системе. [44]
Если f - гомеоморфизм отрезка, то свойства динамической системы / очевидны и просты. В 60 - х годах А. Н. Шарковский обратил внимание на то, что для необратимых непрерывных отображений отрезка ситуация совершенно иная и что в то же время для них можно развить достаточно содержательную теорию. Вначале он был единственным, кто этим занимался, но затем положение изменилось - теперь имеется много работ ( частью в виде малодоступных препринтов) об отображениях отрезка или окружности. При этом рассматриваются и разрывные отображения достаточно простых типов. Первые примеры такого рода рассматривались в эргодической теории еще до Шарковского, но специфика одномерного случая оставалась в тени - ведь с чисто метрической точки зрения, если разрывы никак не ограничиваются, одномерный случай ничем не отличается от многомерного. [45]