Cтраница 3
Приняв предположение о существовании распределений вероятности для всех гидродинамических полей, можно затем широко применять математический аппарат современной теории вероятностей; операция осреднения при этом определяется вполне однозначно и обладает всеми свойствами, которых естественно от нее требовать. Существенно отметить, однако, что при таком подходе сразу же возникает важный дополнительный вопрос о сопоставлении выводов теории с данными непосредственных измерений. [31]
Вновь следует подчеркнуть, что во всех названных работах важны не только окончательные результаты, но и методы, которые впоследствии вошли в арсенал, используемый современной теорией вероятностей. [32]
Как показало последующее развитие теории вероятностей, значение работы [ Bj - ll ] далеко не исчерпывается тем, что в ней было получено полное решение важной задачи о сходимости рядов со случайными членами, - в ней заложены новые методы вероятностного анализа, прочно вошедшие в арсенал современной теории вероятностей. [33]
В классической теории понятие математического ожидания не было четко отделено от определения вероятности и в обращении с ним не было достаточной математической строгости, Поэтому изучение случайных величин, не имеющих математических ожиданий, сталкивалось с непреодолимыми трудностями, и даже сравнительно недавние дискуссии кажутся странными тому, кто изучает современную теорию вероятностей. Важность случайных величин, не имеющих математических ожиданий, была подчеркнута в предыдущем параграфе, и вполне естественно привести здесь пример аналога закона больших чисел для этих величин. [34]
Поскольку прогнозирование остаточного ресурса относится к конкретному, индивидуальному объекту, а прогноз неизбежно содержит элементы вероятностного характера, то возникает вопрос об истолковании вероятностных выводов применительно к индивидуальным объектам и индивидуальным ситуациям. Современная теория вероятностей и математическая статистика традиционно отдают предпочтение статистической интерпретации вероятности как единственному толкованию, имеющему объективный смысл. Аналогичное толкование дают и в системной теории надежности, развитой в первую очередь применительно к массовой продукции, работающей в статистически однородных условиях. Применительно к уникальным объектам приходится использовать менее популярное понятие индивидуальной, субъективной или байесовской вероятности как меры уверенности в истинности суждения. Теория статистических решений почти целиком основана на байесовском истолковании вероятности, причем выводы индивидуального характера базируются на статистической информации, полученной из анализа представительных выборок. Применительно к прогнозированию индивидуальных показателей надежности роль статистической информации играют данные о нагрузках, свойствах материалов, соединений и деталей, причем эти данные относятся либо к массовым явлениям, либо к эргодическим процессам. Понятия индивидуальных показателей надежности, в конечном счете, представляют собой математическую формализацию интуитивных представлений, которые использует группа экспертов при обсуждении вопроса о возможности дальнейшей эксплуатации конкретного технического объекта. [35]
Анализ процесса деформации сыпучего тела как совокупности случайных явлений сдвига агрегатов частиц не означает отказа от детерминированной теории этого процесса. Современная теория вероятностей учитывает все достижения теории детерминированных процессов и строится как ее обобщение. Вместе с тем в отличие от последней объектом приложения теории вероятностей служит совокупность большого числа явлений, причем основные свойства совокупности могут быть установлены при весьма неполном представлении о свойствах единичных явлений. [36]
Поскольку прогнозирование остаточного ресурса относится к конкретному, индивидуальному объекту, а прогноз неизбежно содержит элементы вероятностного характера, то возникает вопрос об истолковании вероятностных выводов применительно к индивидуальным объектам и индивидуальным ситуациям. Современная теория вероятностей и математическая статистика традиционно отдают предпочтение статистической интерпретации вероятности как единственному толкованию, имеющему объективный смысл. Аналогичное толкование дают и в системной теории надежности, развитой в первую очередь применительно к массовой продукции, работающей в статистически однородных условиях. Применительно к уникальным объектам приходится использовать менее популярное понятие индивидуальной, субъективной или байесовской вероятности как меры уверенности в истинности суждения. Теория статистических решений почти целиком основана на байесовском истолковании вероятности, причем выводы индивидуального характера базируются на статистической информации, полученной из анализа представительных выборок. Применительно к прогнозированию индивидуальных показателей надежности роль статистической информации играют данные о нагрузках, свойствах материалов, соединений и деталей, причем эти данные относятся либо к массовым явлениям, либо к эргодическим процессам. Понятия индивидуальных показателей надежности в конечном счете представляют собой математическую формализацию интуитивных представлений, которые использует группа экспертов при обсуждении вопроса о возможности дальнейшей эксплуатации конкретного технического объекта. [37]
В теории надежности математический аппарат теории вероятностей используют при анализе видов имеющихся статистических распределений и их параметров, при определении надежности элемента в функции времени его работы при анализе структурной надежности схем. Важной ветвью современной теории вероятностей является теория массового обслуживания. [38]
Курс охватывает сравнительно широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и кончая простейшими вероятностными процессами. Сюда входят достаточно полный аппарат современной теории вероятностей; разного рода предельные законы для сумм последовательностей независимых случайных величин; теоремы 6 поведении траекторий, порожденных этими суммами, включая относящиеся сюда так называемые факториаационяые тождества; цепи Маркова и эргодические теоремы для них; элементы теории информации и их применения; теоремы об основных свойствах винеровских и пуассоновеких процессов. [39]
Этот прием часто используется в современной теории вероятностей. [40]
Книга предназначена для первоначального изучения теории вероятностей и случайных процессов. В ней излагаются основные понятия и методы современной теории вероятностей. На простых моделях изучаются наиболее характерные свойства различных типов случайных процессов. Рассматриваются теоретико-вероятностные задачи, представляющие интерес для приложений. При изложении материала используются, главным образом, прямые вероятностные методы, способствующие развитию вероятностной интуиции, которая играет немаловажную роль при решении теоретико-вероятностных задач. [41]
Пространство элементарных событий И с заданной в нем алгеброй или о-алгеброй множеств - & и определенной на У вероятностью-неотрицательной мерой Р ( А), А. Таким образом, математической моделью любого случайного явления в современной теории вероятностей служит вероятностное пространство. [42]
Два последних парадокса в этой и в следующей главах затрагивают понятие индуктивной вероятности. Если вас заинтере-суют парадоксы такого рода, то, прочитав о них побольше, вы погрузитесь в глубокие воды современной теории вероятностей и философии науки. [43]
В каассической теории понятие математического ожидания не было ясно отделено от определения вероятности, и в обращении с ним не было достаточной строгости. Поэтому изучение случайных величин, не имеющих математических ожиданий, сталкивалось с непреодолимыми трудностями, и даже сравнительно недавние дискуссии кажутся странными студенту, изучающему современную теорию вероятностей. Важность случайных величин, не имеющих математических ожиданий, была подчеркнута в заключении § 1, и вполне естественно привести пример аналога закона больших чисел для этих величин. [44]
Этот шаг имеет большое методологическое значение, так как именно здесь создается мост между основной проблематикой статистической механики и предельными задачами теории вероятностей - тот мост, с помощью которого хорошо разработанные аналитические методы современной теории вероятностей становятся удобным орудием исследования в статистической физике. [45]