Cтраница 3
Раздел II статьи И. Г. Петровского посвящен эллиптическим уравнениям. Теория эллиптических уравнений и систем является в настоящее время одним из наиболее развитых разделов общей теории уравнений с частными производными. Теория краевых задач для эллиптических уравнений носит в основном завершенный характер. [31]
Фрсдгольм получил ряд теорем, заведомо не имеющих места для произвольных уравнений. Шаудер показали, что особые свойства этого класса уравнений вытекают из компактности интегральных операторов, и построили общую теорию уравнений с компактными операторами. [32]
Все возражения, высказанные Мюнцем, таким образом, устранены; я думаю, что его утверждение, сделанное в начале статьи, что он дает первое строгое доказательство существования решения задачи Плато для выпуклых контуров, неверно: это первое строгое доказательство уже содержится в моих старых статьях. Но не для отстаивания своих прав на приоритет я написал эту заметку; я просто хотел показать, что моя общая теория уравнений эллиптического типа не поколеблена критикой Мюнца. [33]
СССР за последние 25 лет. За эти годы в Советском Союзе велись в весьма большом масштабе теоретические и экспериментальные исследования термодинамических свойств воды и водяного пара, а также термодинамических свойств многих других веществ; значительное развитие получили общая теория уравнения состояния, теория течения газов и паров, теория циклов и многие другие разделы термодинамики. [34]
Он высказал следующее предположение: подобно тому, как свойства корней уравнений, относящихся к делению круга, позволили проникнуть в теорию специального вида уравнений, так свойства алгебраических иррациональностей, не выражаемых в радикалах, должны послужить исходной точкой для более глубокого проникновения в общую теорию уравнений. Видимо, уже с этого времени Эрмит задумывает исследование трансцендентности чисел. [35]
Для конкретных уравнений с частными производными, таких как уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности, волновое уравнение, в XVIII и XIX веках была построена богатая теория, созданы мощные методы их исследования. К числу первых результатов общей теории уравнений с частными производными принадлежит теорема Ковалевской. Теорема Ковалевской, или, как ее часто называют, теорема Коши - Ковалевской, занимает важное место в теории уравнений с частными производными. Теорема дает ответ на вопрос, при каких предположениях задача Коши (2.23), (2.28) имеет решение. Эта теорема наряду с двумя другими работами была представлена в 1874 г. С. В. Ковалевской ( 1850 - 1891) в Геттингенский университет в качестве докторской диссертации и была опубликована в 1875 г. В 1842 году О. Коши ( 1789 - 1857), систематически изучавший задачу с начальными условиями для дифференциальных уравнений, которая в настоящее время носит название задачи Коши, доказал существование аналитических решений этой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов уравнений с частными производными. [36]
Мы неоднократно встречались с различными дифференциальными уравнениями, содержащими частные производные искомой функции. Это были всегда уравнения совершенно специального вида, возникшие из конкретных задач математической физики. Целью настоящей главы является изложение основ общей теории уравнений с частными производными, причем мы начинаем изложение этой теории с рассмотрения уравнений первого порядка. [37]
Монография подробно излагает важнейшие вычислительные методы решения уравнений в частных производных, применяемые при работе на современных вычислительных машинах. Она содержит много нового интересного и важного материала, относящегося как к уравнениям гиперболического и параболического типа ( которым была посвящена выпущенная Издательством иностранной литературы в 1960 г. в русском переводе книга Р. Д. Рихтмайера), так и к уравнениям эллиптического типа. В книге имеется также краткое изложение основ общей теории уравнений и общая характеристика основных вычислительные средств, применяемых в современной математике. [38]
Изложение Вебера я не могу назвать общим, потому что оно относится к численным уравнениям, коэффициенты которых постоянные числа, а потому переход к случаю коэффициентов функциональных требует добавочных рассуждений. У меня получается теория строгая, совершенно общая и настолько простая, что в лекционном изложении переход от Лагранжевых теорем о функциях, принадлежащих к группам в смысле неизменяемости вида, к самой общей теории численных уравнений занял два часа. [39]
Основные результаты настоящей работы были изложены в 1910 г. в трех заметках в Comptes rendus [10], [ 111, [12], поэтому я здесь не буду напоминать их содержания. Замечу только, что некоторые теоремы первой части были уже доказаны в 1908 г. Адамаромг. Но метод, применяемый мною, существенно отличается от метода Адамара и других авторов, которые вслед за Гильбертом приступают прямо к проблеме вариационного исчисления, не применяя или почти не применяя классических дифференциальных уравнений. Для меня, наоборот, дифференциальные уравнения занимают центральное место; вариационное исчисление является лишь важным применением общей теории уравнений второго порядка, изучение которой лишь иногда упрощается обращением к вариационному исчислению. [40]
Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке сразу же после возникновения дифференциального и интегрального исчисления. Именно через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики. Уравнения с частными производными начали изучаться значительно позднее. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к широким классам дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории уравнений с частными производными. [41]