Cтраница 2
В тех случаях, когда элементы группы и групповая операция заданы конкретно, мы говорим, что перед нами пример группы, и доказательство того или иного утверждения относительно этого примера сводится к применению общей теории групп к данному конкретному примеру. В таких случаях группу принято называть конкретной группой. Если же речь идет лишь о выполнении аксиом группы, то группу называют абстрактной группой. [16]
Роль свободных произведений групп аналогична роли прямых произведений, хотя, в отличие от последних, понятие свободного произведения, существенно связанное с бесконечными группами, могло появиться лишь 5 огда, когда развитие общей теории групп достигло достаточно высокого овня. [17]
И произвольную группу G его преобразований и называть геометрией этого множества науку, изучающую свойства подмножеств, инвариантные относительно группы G. В этой общности геометрия растворяется в общей теории групп преобразований и теряет свою специфику. [18]
Весьма близкими к абелевым, но значительно более сложными являются нильпотентные и затем разрешимые группы. Ввиду большой роли этих классов групп в общей теории групп, естественно, возникает вопрос об определении понятия нильпотентности и разрешимости и для полугрупп. [19]
Sn - Симметрическая группа Sn лежала у истоков общей теории групп и теории Галуа более 150 лет тому назад, и можно только поражаться связанному с ней обилию математических идей. [20]
Руководящим принципом явилось здесь сообрги жение, по которому общая теория групп может рассматриваться как часть теории топологических групп, а именно как теория дискретных групп. В этоге направлении уже получены некоторые результаты; они относятся, однако, к другой статье Сборника и поэтому в дальнейшем будут лишь кратко упоминаться. [21]
В главе II второй части Котельников рассматривает бесконечно малые преобразования группы движений и ее подгрупп. Теория бесконечно малых преобразований была построена в 1873 - 1874 гг. норвежским математиком Софусом Ли ( 1842 - 1899) 16, разработавшим общую теорию групп, которые можно рассматривать как тг-мерные многообразия, в окрестности каждой точки этих многообразий можно ввести координаты. [22]
Поскольку каждая область приложений ставила перед теорией групп свои особенные задачи, рост числа этих областей оказывал и обратное воздействие, вызывая развитие новых отделов теории групп, приведшее к тому, что современная теория групп, являясь единой по своим основным понятиям, фактически распадается на ряд более или менее самостоятельных дисциплин: общая теория групп, теория конечных групп, теория непрерывных групп, дискретные группы преобразований, теория представлений и характеров групп. [23]
К группам автоморфизмов колец - ассоциативных и лиевых - применимы, конечно, общие рассмотрения предыдущей главы. В случае колец дополнительные факты могут быть получены, если учитывать структурные теории колец - радикалы и полупростоту, различные кольцевые конструкции. Однако общей теории групп автоморфизмов колец посвящено очень немного публикаций, и здесь имеется много интересных проблем. Так, например, было бы интересно более подробно изучать группы автоморфизмов стабильного типа при различных предложениях относительно колец. Наиболее многочисленные и содержательные исследования посвящены описанию автоморфизмов различных конкретных колец. [24]
Настоящая книга известного специалиста в теории групп Ханны Нейман является первой и единственной в мировой литературе книгой по многообразиям групп. Важность ее подчеркивается тем, что до сих пор ни в одной книге по теории групп многообразия сколько-нибудь серьезно не затрагивались. Вместе с тем эту ветвь общей теории групп уже нельзя обходить молчанием-своими результатами и методами она оказала столь сильное влияние на теорию групп, что в настоящее время является одним из наиболее важных разделов этой теории. [25]
Настоящая глава развивает понятие группы, введенное в [ ВА I, гл. В первую очередь акцент делается не на абстрактных группах, коим посвящено много специальных руководств, а на изучении разного рода естественных действий групп. Именно конкретные реализации групп послужили толчком к развитию общей теории групп и создали ей репутацию полезного инструмента математического исследования. На фоне частных ( но, заметим, важных) примеров еще настоятельнее становится идея рассмотрения ( гомо -, эпи -, изо -) мор-физмов групп, равно как теоретико-групповых конструкций, позволяющих сводить изучение сложных объектов к более простым. [26]
Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли ( 1842 - 1899), и вся теория приняла удивительно стройный и красивый вид: в механику вошли новые идеи, характерные для математики конца XIX в. Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей: найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равносильно интегрированию уравнения в частных производных так называемого уравнения Гамильтона - Якоби. [27]
Первым руководством по теории групп, в котором со всей отчетливостью была проведена эта точка зрения, явилась книга О. Ю. Шмидта, вышедшая в Киеве в 1916 г. В 20 - х годах Шмидт получил также важную теорему, относящуюся к теории бесконечных групп, которая стала отправным пунктом исследований для ряда других советских алгебраистов. Широкую известность приобрела, в частности, доказанная им теорема о том, что всякая подгруппа свободного произведения сама является свободным произведением подгрупп, изоморфных соответствующим подгруппам сомножителей, и, может быть, еще отдельной свободной подгруппы. Позже им была опубликована монография по теории групп, в которой впервые был систематически изложен богатый фактический материал, полученный в области общей теории групп. Эта монография в настоящее время является наиболее полным в мировой литературе курсом общей теории групп, пользующимся широкой международной известностью. [28]
Теория обобщенных групп или, как предпочитают говорить некоторые специалисты в этой области, общая теория алгебраических систем с одной операцией, находится пока в стадии первых поисков своего предмета и своих задач. Различными авторами введены многочисленные типы алгебраических систем, в том или ином направлении обобщающие понятие группы; иногда эти обобщения подсказываются важными конкретными примерами или потребностями тех или иных ветвей математики, иногда же они возникают из простого желания ослабить или отбросить одну из аксиом, входящих в определение группы, что, конечно, естественно, но не слишком глубоко. Теория этих обобщений понятия группы, в свою очередь, иногда ограничивается их простейшими свойствами, непосредственно примыкающими к их определению, иногда же посвящена отдельным более глубоким вопросам, обычно при этом подсказанным некоторыми нетривиальными результатами общей теории групп. [29]
Первым руководством по теории групп, в котором со всей отчетливостью была проведена эта точка зрения, явилась книга О. Ю. Шмидта, вышедшая в Киеве в 1916 г. В 20 - х годах Шмидт получил также важную теорему, относящуюся к теории бесконечных групп, которая стала отправным пунктом исследований для ряда других советских алгебраистов. Широкую известность приобрела, в частности, доказанная им теорема о том, что всякая подгруппа свободного произведения сама является свободным произведением подгрупп, изоморфных соответствующим подгруппам сомножителей, и, может быть, еще отдельной свободной подгруппы. Позже им была опубликована монография по теории групп, в которой впервые был систематически изложен богатый фактический материал, полученный в области общей теории групп. Эта монография в настоящее время является наиболее полным в мировой литературе курсом общей теории групп, пользующимся широкой международной известностью. [30]