Абстрактная теория - группа
Cтраница 1
Абстрактная теория групп содержит большое количество проблем, решение которых в общем виде отсутствует до настоящего времени. Однако некоторые из этих проблем получают решение, если предположить, что группы, о которых идет речь в этих проблемах, допускают изоморфные представления матрицами. Другой пример представляет проблема существования бесконечных простых групп с конечным числом образующих, которая для матричных групп ( теоремы 7 и 8) решается отрицательно. В настоящем параграфе мы хотим рассмотреть еще одну проблему этого характера, именно, проблему Хопфа, которая, как будет показано, снова решается, если ограничиться группами, допускающими изоморфные матричные представления. Решение опирается на следующий своеобразный признак непредставимости для i pynn с конечным числом образующих. [1]
Однако абстрактная теория групп ничего не говорит об энергетических интервалах между четырьмя мульти-плетами (19.41), поэтому использование теории возмущений приводит в этом случае к более определенным результатам. [2]
Идеалом абстрактной теории групп было бы описание всех возможных групп с точностью до изоморфизма, но совершенно независимо от их конкретных реализаций. Столь общая задача, конечно, совершенно не реальна. [3]
 |
Представления группы C2ft. [4] |
На языке абстрактной теории групп полный набор операций трансляции является инвариантной подгруппой пространственной группы, а фактор-группа, с которой связана пространственная группа, изоморфна одной из кристаллографических точечных групп. Операции фактор-группы составляют второй набор, необходимый, чтобы закончить описание симметрии кристалла. [5]
Не излагая абстрактную теорию групп, мы рассмотрим основные понятия этой теории на конкретном примере группы симметрии Cav. На схеме приведена пространственная конфигурация молекулы аммиака, относящаяся к этой группе. [6]
Читатель, уже знакомый с абстрактной теорией групп, использованием точечных групп и формой волновых функций молекул, может после гл. Центральной главой книги является гл. [7]
Теоремы 1, 2 являются обобщениями соответствующих локальных теорем абстрактной теории групп [5], доказательства которых легко переносятся и на рассматриваемый случай. [8]
Основные труды в области математики относятся к алгебре; монография Абстрактная теория групп ( 1916, 2 изд. Земли и планет Солнечной системы, разработку к-рой продолжал совместно с группой советских ученых до конца жизни. В 1929 и 1930 возглавлял экспедиции на ледокольном пароходе Георгий Седов, организовавшие на Земле Франца-Иосифа первую научно-исследовательскую станцию, обследовавшие северовосточную часть Карского моря, западные берега Северной Земли и открывшие ряд островов. [9]
Основная стоящая здесь проблема может быть сформулирована так: указать в терминах абстрактной теории групп необходимые и достаточные признаки того, чтобы некоторая группа допускала изоморфное представление какой-либо степени над каким-нибудь коммутативным полем. Что касается общего случая, то он сначала редуцируется к группам с ко-нечцым числом образующих, а затем сводится к проблеме представления конечных групп матрицами заданной степени. Оказывается, что матричные группы с конечным числом образующих могут быть с любой степенью точности аппроксимированы конечными группами, допускающими представления ограниченной степени, и, наоборот, из возможности такой аппроксимации уже вытекает представимость группы. [10]
Как уже отмечалось, теория матричных представлений групп находит многочисленные применения и в самой абстрактной теории групп: она позволяет привлечь к исследованию групп вычислительную технику теории полей, а иногда даже и классический анализ. Важную роль при этом играет теория характеров. Мы не намерены здесь входить в детали классической теории представлений и характеров и выделим лишь некоторые важные для нас моменты. Значительное место в ней уделено целочисленным и модулярным представлениям. [11]
Если для любых двух элементов а и Ь множества G имеет место-а b b) а, то группа называется коммутативной или абе-левой, по имени молодого норвежского математика Абеля, открывшего значение таких групп для решения в радикалах алгебраических уравнений. Абстрактная теория групп позволяет рассматривать с единых позиций различные множества операций, тождественные с абстрактной точки зрения. [12]
С точки зрения абстрактной теории групп, ответ очевиден: простыми коммутативными группами являются лишь циклические группы простых порядков. [13]
Задача таким образом разбивается на две: на построение минимального ЦРБИ и последующее конструирование самого Ф из элементов этого минимального ЦРБИ. Алгоритм построения ЦРБИ решается методами абстрактной теории групп ( см. [ 5.19, § 12 ]), и здесь, естественно, не рассматривается. [14]
Первые две из этих проблем являются основными в классической теории представлений. С третьей связаны, например, различные приложения теории характеров в абстрактной теории групп. [15]
Страницы: 1 2 3