Cтраница 2
Шевалле рассчитана на научных работников-математиков, студентов старших курсов и аспирантов. Для ее чтения необходимо владение основными понятиями комбинаторной и теоретико-множественной топологии и абстрактной теории групп. [16]
Вместе с тем внутреннее развитие привело и к некоторому отчуждению, все реже в группе видят группу автоморфизмов, теряются многие связи. С другой стороны, при изучении конкретных групп преобразований недостаточно учитывались достижения современной абстрактной теории групп. В настоящее время положение здесь существенно меняется и устанавливаются многочисленные новые связи между абстрактным направлением и теорией групп преобразований. Такое взаимодействие теории групп с внешним миром представляет несомненный интерес не только для разделов математики, использующих группы как группы автоморфизмов, но и для самой теории групп. Достаточно, например, вспомнить, что многие тонкие факты абстрактной теории групп были получены внешними средствами, и роль этих внешних методов все более растет. [17]
Вторая часть посвящена группам автоморфизмов групп. Изучение групп автоморфизмов групп представляет, как известно, большой интерес с точки зрения абстрактной теории групп. Соответствующие пары называются здесь групповыми парами. Особую роль при этом играют групповые пары, в которых одна группа - левая - является нормальным делителем другой, а представление определяется переходом к внутренним автоморфизмам. Легко видеть, что отношения между группой и ее нормальными делителями удобно изучать на языке таких групповых пар, причем точка зрения групповых пар помогает часто лучше понять и ряд известных теоретико-групповых фактов. Во второй части имеется также один параграф, посвященный абстрактным свойствам линейных групп. [18]
С другой стороны, истинный математик, изучающий новую область физики, получил бы большое удовлетворение в том, что изучаемая теория представляет собой иллюстрацию к одной из частей чистой математики, до сих пор не имевшей физических приложений. Его бы более удовлетворило изложение, которое показало бы, как теория строения атома связана с абстрактной теорией групп. Это отнюдь не означает, что мы недооцениваем значения теории групп для атомной физики или считаем необходимым пренебречь изучением этой области математики именно теперь, когда доказано, что эта область является важным орудием для теории. Просто дальнейшие достижения влекут за собой так много нового, что нам кажется нецелесообразным еще увеличивать нагрузку читателя. Для тех, кто желает рассмотреть теорию атомных спектров с точки зрения теории групп, существуют в настоящее время специальные книги. [19]
Понятия нормальной системы, инвариантной системы, возрастающих и убывающих нормальных рядов играют важную роль не только в абстрактной теории групп, или в общем случае Q-групп; они являются основными и при рассмотрении представлений групп автоморфизмами 2-групп. Соответствующие понятия для Q-групп отличаются от теоретико-групповых понятий лишь тем, что во всех случаях, где речь идет о нормальных делителях, нужно говорить об идеалах. [20]
Начало теоретико-групповых исследований в нашей стране связано сименем О. Ю. Шм и д та. Первые работы О. Ю. Шмидта по теории групп Относятся к 1912 - 1913 гг., а в 1916 г. вышла его книга Абстрактная Теория групп ( переиздана в 1933 г. -)), оказавшая позже очень большое влияние на формирование советской теоретико-групповой школы. [21]
Группы G и Я называются изоморфными ( обозначение: G H), если существуют изоморфизмы, переводящие одну на другую. Изоморфизм групп является отношением эквивалентности в классе всех групп. В абстрактной теории групп к ним относятся как к одинаковым объектам. [22]
Этот подход соответствует как историческому пути развития теории групп, так и значению групп преобразований в других областях математики. Так называемая абстрактная теория групп, являющаяся порождением более поздней эпохи ( первая половина XX столетия), далеко отошла от групп преобразований, но многие ее понятия несут на себе отпечаток старого времени. Именно, источник этих понятий чаще всего покоится на идее реализации ( представления) данной группы G в 5 ( П), где П - подходящим образом выбранное множество. [23]
Легко видеть, что элементы двух групп, отвечающие друг другу при изоморфном соответствии, будут обладать одинаковыми свойствами по отношению к групповой операции. Так, при изоморфном соответствии нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы данного порядка тг, подгруппы одной группы переходят соответственно в нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы того же порядка п, подгруппы другой группы. Поэтому можно сказать, что абстрактная теория групп изучает лишь те свойства групп, которые сохраняются при изоморфных отображениях. Например, с точки зрения абстрактной теории групп группа всех подстановок четырех элементов и группа собственных и несобственных движений пространства, переводящих в себя фиксированный правильный четырехгранник, обладают одинаковыми свойствами, так как они изоморфны. Действительно, рассматриваемые движения переводят вершины четырехгранника снова в его вершины. Сопоставляя с каждым движением вызываемую им перестановку вершин, мы получим взаимно однозначное соответствие между элементами обеих групп, которое и будет искомым изоморфизмом. [24]
В теории матричных групп большое место занимает изучение абстрактных свойств таких групп, а также связей этих свойств с наличием сложения и конкретного матричного задания элементов. Сюда же примыкают исследования, посвященные условиям существования точного представления или полной системы представлений абстрактной группы матрицами, удовлетворяющими различным дополнительным требованиям. Такие представления находят часто глубокие применения в абстрактной теории групп. [25]
Поскольку свободная группа пространства X характеризуется чисто аксиоматически то важным вопросом является доказательство ее существования. Оказывается, для каждого вполне регулярного пространства X свободная топологическая группа F существует и определяется однозначно с точностью до топологических изоморфизмов, переводящих точки X в себя. Множество X является свободным базисом F в смысле абстрактной теории групп и замкнуто в F. Из последнего свойства непосредственно вытекает положительное решение упоминавшегося выше вопроса о существовании ненормальных групп. Назовем топологическую группу G свободной, если существует вполне регулярное пространство, свободной топологической группой которого G является. [26]
Предполагалось, что основное внимание будет уделено абстрактным свойствам и применениям к абстрактным группам. Холла, хорошо известная теперь и очень простая теорема Калужнина, содержащая внешний признак нильпотентности группы автоморфизмов, исследования, связанные с изучением абстрактных свойств линейных групп и применениями линейных групп в абстрактной теории групп, а также работы, посвященные абстрактным свойствам группы с точки зрения существования у нее тех или иных симметрии - автоморфизмов. [27]
При этом в каждой конкретной группе автоморфизмов различают внутренние, абстрактные свойства и внешние свойства, связанные с объектом и действием. Абстрактные свойства важны еще и потому, что они являются инвариантами относительно различных конкретизации группы - относительно различных изоморфных ее представлений. Теперь уже абстрактная теория групп живет очень богатой и интересной внутренней жизнью - за последние десятилетия в ней накопилось большое число идей и результатов, посвященных особенностям внутреннего строения групп. Многие важные результаты были получены лишь недавно в итоге многолетних поисков. Есть здесь и такие задачи, о решении которых пока приходится только мечтать. [28]
Легко видеть, что элементы двух групп, отвечающие друг другу при изоморфном соответствии, будут обладать одинаковыми свойствами по отношению к групповой операции. Так, при изоморфном соответствии нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы данного порядка тг, подгруппы одной группы переходят соответственно в нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы того же порядка п, подгруппы другой группы. Поэтому можно сказать, что абстрактная теория групп изучает лишь те свойства групп, которые сохраняются при изоморфных отображениях. Например, с точки зрения абстрактной теории групп группа всех подстановок четырех элементов и группа собственных и несобственных движений пространства, переводящих в себя фиксированный правильный четырехгранник, обладают одинаковыми свойствами, так как они изоморфны. Действительно, рассматриваемые движения переводят вершины четырехгранника снова в его вершины. Сопоставляя с каждым движением вызываемую им перестановку вершин, мы получим взаимно однозначное соответствие между элементами обеих групп, которое и будет искомым изоморфизмом. [29]
В те же годы он пишет книгу Абстрактная теория групп ( опубликована в 1916 г.), в течение ряда десятилетий остававшуюся единственным руководством на русском языке по теории групп. После революции О. Ю. Шмидт переезжает в Москву, и основной для него становится большая государственная деятельность ( см. Отто Юльевич Шмидт. [30]