Cтраница 3
Вместе с тем внутреннее развитие привело и к некоторому отчуждению, все реже в группе видят группу автоморфизмов, теряются многие связи. С другой стороны, при изучении конкретных групп преобразований недостаточно учитывались достижения современной абстрактной теории групп. В настоящее время положение здесь существенно меняется и устанавливаются многочисленные новые связи между абстрактным направлением и теорией групп преобразований. Такое взаимодействие теории групп с внешним миром представляет несомненный интерес не только для разделов математики, использующих группы как группы автоморфизмов, но и для самой теории групп. Достаточно, например, вспомнить, что многие тонкие факты абстрактной теории групп были получены внешними средствами, и роль этих внешних методов все более растет. [31]
Теория гомологии, в соединении с принципом Дирихле или методом ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве, ведет к теории гармонических интегралов, в частности для наименьшей раз - мерности л2 - к теории абелевых интегралов на римановых поверхностях. Но для римановых поверхностей принцип Дирихле, если его соединить с теорией гомотопий ( не гомологии) замкнутых кривых, дае т также фундаментальные фак ты, касающиеся униформизации аналитических функций одной переменной. В то время как цикл гомологичен нулю, ее - ли он является границей, он гомотопичен нулю, если может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации. Теория гомотопий одно - и многомерных циклов недавно выдвинулась вперед как важный раздел топологии, и теоретико-групповой аспект гомотопий привел к некоторым порази - тельным открытиям в абстрактной теории групп. [32]
Утверждение, о котором сейчас идет речь, будет доказано, если мы покажем, что подгруппа 2, порожденная множеством У, является относительно конечной тг-группой. Фактор-группа 2 / 3 нильпотентна, и следовательно, для подгрупп из 2, содержащих j, выполняется нормализаторное условие. Обозначим через О свойство группы быть конечной тг-группой. Циклическая подгруппа ( о является, очевидно, б-группой, а следовательно, и LS-группой. Применим теперь обычные в абстрактной теории групп рассуждения. По той же теореме 2.2 2 содержит все тг-элементы из N и потому является относительно характеристической подгруппой в N. При этом условии 2f содержит все множество Y и, значит, совпадает с 2 - Таким образом, 2 - LO-группа, а вследствие наличия конечной системы образующих эта группа является 6-группой. Это означает, что фактор-группа 2 / J является конечной тг-группой. Так будет для любого конечного подмножества К из G, и следовательно, предложение доказано. [33]
Он принадлежал к тем редким ученым, кто соединяет разные отделы науки в одну науку. Здесь, если не считать абелевых групп, деятельность Анатолия Ивановича началась, вероятно, с применения локальных теорем к некоторым теоретико-групповым задачам. Возможно, что математическая логика привела Анатолия Ивановича также к серии теорем о вложениях колец в тела, полугрупп в группы. В свою очередь его исследования по топологическим группам и тесно связанные с ними исследования по линейным группам повлекли за собой замечательные работы, относящиеся уже к абстрактной теории групп. Я имею в виду локально нильпотентные группы без кручения, их связи с рациональными алгебрами Ли и выдающуюся работу Анатолия Ивановича 1949 года О бесконечных разрешимых группах, которая дала толчок многим исследованиям в дальнейшем. Детищем Анатолия Ивановича была общая теория алгебраических систем, которая очень сильно влияла на сложившиеся направления в алгебре. Его исследования после пятидесятых годов были непосредственно связаны с этой общей теорией. Будучи выдающимся специалистом в алгебре в целом, он мог компетентно судить обо всем, что в ней делается. Однако если и был какой-нибудь раздел, которым Анатолий Иванович непосредственно не занимался, он умел внимательно и доброжелательно относиться к труду соседей по науке. [34]