Cтраница 1
Аксиоматические теории часто исходят из некоторых интуитивных теорий. В качестве примеров сразу приходят в голову такие теории, как арифметика, механика, теория вероятностей и геометрия, развиваемые обычно на интуитивной основе. После того, как интуитивная теория развита настолько, что ее основные свойства считаются известными, тогда уже можно рассчитывать ( или хотя бы попытаться) ее аксиоматизировать. Первым шагом в этом направлении является перечисление основных объектов, кладущихся в основу рассматриваемой теории, и основных свойств, которыми обладают эти объекты. Затем в качестве имен для этих выбранных объектов вводятся какие-нибудь символы ( в частности, такими символами могут быть и слова), после чего выбранные нами основные свойства избранных объектов записываются с помощью отобранных символов. Символы эти носят название первичных терминов ( или символов) формализуемой теории, а исходные высказывания, составленные из них, - аксиом данной теории. Теперь в рамках некоторой фиксированной системы логики выводятся теоремы. Одно из требований, предъявляемых к аксиоматической теории, состоящее в том, что понятие истинности не должно в ней явным образом использоваться, удовлетворяется благодаря тому, что первичные термины не определяются, а аксиомы понимаются просто как исходный список теорем. Степень успешности аксиоматизации какой-нибудь интуитивной теории определяется числом теорем, которые ( после приписывания входящим в их формулировки первичным терминам интуитивно подразумеваемых значений этих терминов) обращаются в истинные - с точки зрения наших знаний-утверждения. Осуществление такой программы аксиоматизации интуитивной теории допускает довольно значительный произвол в выборе основных понятий, и фактически отбираемые понятия часто очень отличаются друг от друга. Гильберта, имеется шесть первичных терминов: точка, прямая, плоскость, инцидентно, между и конгруэнтно. [1]
Аксиоматическая теория, с успехом осуществляющая формализацию какой-нибудь интуитивной теории, является источником проникновения в природу этой теории, так как аксиоматическая теория строится без обращения к смыслу. Аксиоматическая теория, являющаяся формализацией нескольких теорий, привлекательна еще в известной мере своей простотой и эффективностью. Под простотой мы здесь понимаем то, что для любой из конкретных теорий, служащих интерпретациями нашей аксиоматической теории, удается обойтись одним и тем же числом исходных допущений, нужных для получения конкретных теорем любой из этих теорий. Говоря об эффективности, мы имеем в виду то, что каждая теорема аксиоматической теории может быть автоматически перенесена на любую из ее интерпретаций. [2]
Аксиоматическая теория, две любые модели которой изоморфны2, называется категоричной. Таким образом, категоричная теория имеет по существу единственную модель. Именно достижение такой ситуации преследуется при аксиоматизации некоторых интуитивных теорий, скажем, евклидовой геометрии или теории действительных чисел. [3]
Аксиоматическая теория благосостояния представляет задачу принятия коллективного решения на основе сопоставления каждой допустимой альтернативе ( каждому допустимому решению) вектора ( и. Вся необходимая информация заключена во множестве этих допустимых векторов полезностей. Систематически опускается всякая информация о специфике решений, порождающих многообразие векторов полезностей. [4]
Аксиоматическая теория вероятностей и занимается вероятностными пространствами. Однако для того, чтобы рассматривать бесконечное вероятностное пространство, нужны более тонкие определения. [5]
Аксиоматическая теория множестп, Арифметика фирмпльнал, Предикатов исчисление, Типов теория. [6]
Следующая аксиоматическая теория А наиболее полно отражает принципы наивной теории множеств. [7]
Аксиоматическая теория пространств решений дифференциальных уравнений и дифференциальных включений / / Докл. [8]
Поскольку аксиоматические теории имеют зачастую весьма сложное строение, они заслуживают, чтобы их обозначали специальными символами. По мнению автора, для этого подходят прописные готические буквы. [9]
Всякая аксиоматическая теория, по определению, занимается выводом следствий из определенных аксиом. [10]
Всякая неформальная аксиоматическая теория дедуктивно замкнута. [11]
Формализация аксиоматических теорий при помощи исчисления предикатов производится следующим образом. [12]
Ps аксиоматической теории определены лишь постольку, поскольку они охарактеризованы аксиомами. Каждую предикатную формулу можно рассматривать как систему аксиом и считать, что входящие в нее свободные переменные и предикатные буквы представляют неопределенные индивидуумы и предикаты. [13]
Описывая аксиоматическую теорию множеств, Вейль обозначает буквой Z ее формулировку в стиле Геделя - Бернайса с двумя сортами переменных - для классов и для множеств. В современной литературе по теории множеств буквой Z ( также в память о Цермело) обозначается другая формализация ( по существу эквивалентной системы), где классы не вводятся. Она соответствует пониманию корректно определенного свойства просто как формулы в языке теории множеств. Подразумевается, однако, что постулирована аксиома индукции и элементарные арифметические аксиомы вроде определяющих равенств сложения и умножения. [14]
Рассмотрим составную аксиоматическую теорию Т с множеством позитивных аксиом К и с множеством негативных аксиом L. Вышеприведенная модель А не является моделью теории Т, так как дизъюнкция двух негативных аксиом р и q истинна в этой модели ( хотя ни одна из негативных аксиом в отдельности и не истинна в модели А. [15]