Cтраница 3
Евклидова геометрия - древнейшая из аксиоматических теорий. [31]
Ни одна из упомянутых нами аксиоматических теорий множеств не имеет счетных натуральных моделей. Поэтому важным оказывается также несколько более слабое понятие стандартной модели. Счетные транзитивные модели играют очень важную роль при определении коэновского понятия вынуждения. [32]
Для классической же теории понятие составной аксиоматической теории неинтересно - оно легко сводится к понятию простой теории. [33]
Более точную формулировку в терминах современной аксиоматической теории поля читатель может найти в книге Боголюбова. [34]
Вслед за этим Нейман развил аксиоматическую теорию гильбертовых пространств и установил соответствие между физическими состояниями и векторами гильбертова пространства, а также между наблюдаемыми и линейными операторами. [35]
Этот результат дает фактически вторую формулировку аксиоматической теории, называемой теорией структур. Таким образом, о структурах можно мыслить двояко. [36]
Пусть каждому исходному понятию и отношению аксиоматической теории ЭМ поставлен в соответствие некоторый конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению U теории ЭМ ставится в соответствие некоторое высказывание U об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда можно сказать, что утверждение U теории ЭМ соответственно истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства сами обычно являются объектом рассмотрения другой теории ГА, которая, в частности, может быть аксиоматической. Этот метод позволяет доказывать суждения типа: если теория ГА непротиворечива, то непротиворечива и теория ЭМ. [37]
Следующее наше приложение измеримых кардиналов касается аксиоматической теории множеств. Мы докажем, что из существования несчетного измеримого кардинала следует ложность аксиомы конструктивности, или - равносильно - из аксиомы конструктивности вытекает, что ю - единственный измеримый кардинал. [38]
Ниже приведены некоторые из результатов в аксиоматической теории множеств. Большинство теорем относится к аксиоматической теории множеств ZF Цермело-Френкеля, наиболее употребительной в настоящее время. [39]
Книга представляет собой краткое изложение курса аксиоматической теории множеств и посвящена теории порядковых и кардинальных чисел, а также изложению фундаментальных математических определений в терминах теории множеств, и может быть использована для подготовки спец. [40]
Мы не будем говорить подробно об аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля, но два обстоятельства следует иметь в виду. Во-первых, в ней нет никаких объектов, кроме множеств, и есть аксиома экстенсиональности ( или объемности), которая говорит, что два объекта, содержащие одни и те же элементы, равны. [41]
Всякая система объектов, удовлетворяющая аксиомам какой-либо аксиоматической теории ( в том смысле, что из аксиом должны получиться истинные предложения, если вместо первоначальных понятий подставить названия этих объектов, родов, отношений и операций), называется интерпретацией или моделью этой аксиоматической теории. Изучение моделей аксиоматической теории составляет предмет теории моделей; этой теории ( в применении к аксиоматической теории Пеан о, о которой мы скажем ниже) и посвящена статья Генкина. [42]
Не имеет смысла говорить об очевидности аксиом аксиоматической теории просто потому, что первоначальным понятиям не придается никакого другого смысла, кроме того, что они удовлетворяют аксиомам. Очевидность есть интуитивное понятие, и очевидными ( в интересующем нас сейчас смысле) могут быть лишь предложения, относящиеся к таким системам объектов, которые даны нам в интуитивном восприятии. Но благодаря нашей интуиции мы действительно можем строить такие интуитивные системы объектов и говорить об очевидности того, что они удовлетворяют аксиомам какой-либо аксиоматической теории. [43]
Различия между классом и множеством обсуждаются в аксиоматической теории множеств и связаны с необходимостью избежать знаменитого парадокса Рассела. Не всякое собирание объектов воедино образует множество, ибо понятие множество всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента, противоречиво. В аксиоматике Геделя - Бернайса такие собрания множеств называются классами. Техника теорий категорий требует собираний объектов, лежащих в опасной близости к таким парадоксальным ситуациям. [44]
К счастью, под абстрактной оболочкой большинства аксиоматических теорий алгебры скрываются вполне конкретные задачи теоретического или практического характера, решение которых служило в свое время счастливым, а иногда и неизбежным поводом к далеко идущим обобщениям. [45]