Cтраница 2
При рассмотрении аксиоматических теорий в общем виде приходится считаться с тем, что любое множество замкнутых формул данного языка первого порядка может быть принято в качестве системы аксиом. Множество Т называется совместным, если оно имеет хотя бы одну модель. [16]
Предметом изучения аксиоматической теории может служить любая ее модель. [17]
Поскольку непротиворечивость аксиоматической теории множеств до сих пор не обоснована, по крайней мере не вызывающими сомнения методами, данное заявление авторов представляется странным. [18]
Показать, что аксиоматическая теория, описанная в упражнении 4, есть формулировка теории коммутативных групп. [19]
Показать, что аксиоматическая теория, описанная в упражнении 5, есть формулировка теории групп. [20]
Таким путем Строится аксиоматическая теория множеств. [21]
Побочным результатом развития аксиоматической теории, формализующей несколько теорий, является возможность сравнительно простого дальнейшего расширения и обогащения этих аксиоматизированных теорий. Например, теорема какой-нибудь теории может быть выведена из теоремы теории вторичного происхождения, которая, в свою очередь, может быть источником новых результатов для другой родственной теории. Кроме возможности обогащения содержания родственных теорий, обусловленного общей для них аксиоматизацией, здесь возможно также перекрестное оплодотворение теорий методами подхода к решению рассматриваемых в них проблем. Скажем, метод доказательства, типичный для какой-нибудь теории, может оказаться совершенно новым и плодотворным дли другой теории, а сама мысль о перенесении метода на другую теорию может быть подсказана идеями некоторой третьей теории. [22]
Следующее важное свойство аксиоматических теорий первого порядка состоит в том, что в любой такой теории каждая общезначимая формула есть теорема. [23]
С другой стороны, аксиоматическая теория множеств не претендует ни на какую связь с реальным миром. Прежде чем она сможет стать приемлемым фундаментом для математики, следует убедиться в ее непротиворечивости. [24]
Если при описании какой-либо аксиоматической теории используемая система логических правил предполагается уже известной, мы будем говорить, что эта теория есть неформальная ( содержательная) теория. В математической практике аксиоматические теории обычно описываются в виде неформальных теорий; что же касается предполагаемой при этом логики, то обычно считается, что это та интуитивная логика, которая усваивается в ходе изучения математики. Сказанное отнюдь не имеет характер порочного круга, как это может показаться вначале. Более того, можно привести многочисленные доводы в защиту мнения, согласно которому точное определение логической правильности, выдвигаемое символической логикой, хорошо согласуется с тем интуитивным представлением о строгости рассуждений, которым пользуются математики. Многочисленные примеры, подтверждающие тот тезис, что логические принципы, считающиеся строгими большинством математиков, принимаются в качестве таковых в символической логике ( и наоборот), собраны в книге Дж. На наш взгляд, не будет преувеличением сказать, что в глазах подавляющего большинства математиков современная символическая логика есть попросту формализация того интуитивного способа рассуждений, которого они фактически всегда придерживаются. Это мнение, правда, не выглядит столь убедительным по отношению к тем математикам, которые проводят формальные доказательства и используют для проверки их правильности формальные процедуры исчисления предикатов. Однако и для таких математиков проверка доказательств формальными, механическими методами играет скорее роль некоторой страховки в сложной цепи рассуждений, дополняющей в сложных случаях содержательные методы рассуждений, но не подменяющей их. [25]
Настоящий параграф посвящен развитию аксиоматической теории самоорганизующихся систем, которая позволяет единым образом представить оба этих режима. [26]
Поскольку же Цермело строил аксиоматическую теорию, то в ней нельзя было прибегать к еще не введенным понятиям и тем более приходилось быть осторожным в способах рассуждений. [27]
Арифметика сравнительно поздно стала аксиоматической теорией. Хотя первые попытки аксиоматизации арифметики встречаются уже в XVIII в. Христиан Вольф), но более или менее стройная картина, дошедшая до наших дней, возникла только в XIX в. [28]
В следующей главе, рассматривающей аксиоматические теории, будут даны некоторые указания об этом подходе к математическим теориям. [29]
Откуда вообще берутся в математике аксиоматические теории. [30]