Cтраница 3
Наконец, помимо связи с различными областями математики необходимо отметить глубокие связи дескриптивной теории множеств с математической логикой. Одной из важных задач последней является изучение природы трудностей, возникающих в задачах теории множеств, как, например, проблема континуума или проблема мощности СД-множеств. Но как раз дескриптивная теория множеств выделила несколько таких проблем, в которых возникли специфические трудности логической природы, с другой стороны, новые идеи математической логики обнаруживают явное родство с идеями дескриптивной теории множеств. [31]
Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-множеств был решен с привлечением методов дескриптивной теории множеств. Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счетная, либо континуум. В доказательстве этого факта существенную роль играют методы дескриптивной теории множеств, в частности теорема Н. Н. Лузина о стационарности последовательностей F. Дальнейшее исследование этого вопроса было проведено молодым казахским математиком А. Одним из наиболее ранних применений дескриптивной теории множеств в смежных областях был результат П. С. Урысона о том, что множество достижимых точек границы пространственной области всегда является А-множеством, но может не быть В-множеством. [32]
В то же время под его руководством был организован семинар по дескриптивной теории множеств, интересы которого были направлены на указанные выше узловые проблемы этого направления. [33]
Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-множеств был решен с привлечением методов дескриптивной теории множеств. Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счетная, либо континуум. В доказательстве этого факта существенную роль играют методы дескриптивной теории множеств, в частности теорема Н. Н. Лузина о стационарности последовательностей F. Дальнейшее исследование этого вопроса было проведено молодым казахским математиком А. Одним из наиболее ранних применений дескриптивной теории множеств в смежных областях был результат П. С. Урысона о том, что множество достижимых точек границы пространственной области всегда является А-множеством, но может не быть В-множеством. [34]
Дескриптивная теория множеств возникла в связи с решением некоторых специальных вопросов-вопроса о мощности В-множеств и вопроса об эффективном построении множеств, не являющихся б-множествами. Работы первого периода были тесно связаны с этими проблемами. Сюда вошли вопросы, связанные с изучением строения А - и СД-множеств. На этой почве были созданы новые методы, которые дали решение значительного круга поставленных проблем. Далее, как это часто случается при развитии науки, созданные методы нашли применение в ряде смежных областей и дали возможность решить некоторые проблемы, возникшие в других областях науки - метрической теории функций и топологии. Кроме того, идеи, возникшие в дескриптивной теории множеств также оказали значительное влияние на некоторые смежные области, в особенности на топологию и математическую логику. [35]
Однако Вейль не просто принял интуиционистскую концепцию: в известном смысле он возвысился над представлениями Брауэра - так же как и над воззрениями Гильберта. Во всяком случае, в этом смысле можно истолковать позицию, изложенную в следующих его словах: Как ни крути, а очевидность остается последним источником истины и познания. Но очевидность никогда не может привести к установлению окончательных правил и уберечь от заблуждения. Поэтому границы, до которых простирается брауэровская математика, остаются смутными; и нельзя быть также уверенным в том, что, строя математические рассуждения в соответствии с гильбертовской программой, разные авторы порой не перегнут палку в отношении очевидности ( с. Творчески работавший в дескриптивной теории множеств, он критически оглядывал теоретико-множественное мышление так сказать изнутри него самого. Это, видимо, и определило неприятие брауэровской концепции: в полном ее виде он считал последнюю неприемлемой ввиду ее разрушительного действия в математике, комментируют его позицию П.С. Новиков и Келдыш3; не был согласен он и с подходом Гильберта. [36]