Cтраница 2
Так как это тождество справедливо для бесконечно многих значений х, оно является полиномиальным тождеством. [16]
Поскольку ( 9) справедливо для бесконечно многих значений 7, оно является полиномиальным тождеством. [17]
Для того чтобы групповая алгебра F ( G) группы G над полем нулевой характеристики удовлетворяла некоторому полиномиальному тождеству, необходимо и достаточно, чтобы группа G обладала абелевой подгруппой конечного индекса. Если же характеристика F конечна и равна р, то F [ G ] является Р1 - А. G обладает р-абелевой подгруппой конечного индекса ( группа наз. [18]
Со своей стороны тот подход, которому мы следовали, дает их как следствия основной детерминантальной формулы и общих полиномиальных тождеств вместе с обращением в нуль некоторых высших классов Чженя и обратных к ним, которое имеет место на грассманианах. [19]
А является коммутативной, если разность ху - ух равна нулю для всех элементов х, у е А, Другой способ дать это определение состоит в следующем: полином y0yi - yiyo из свободной алгебры F y0, yi ( с некоммутирующими переменными уо и yi) принадлежит ядру любого гомоморфизма алгебры ( Уо, yi B алгебру А. Определение полиномиальных тождеств получается с помощью обобщения этой идеи. [20]
Совокупность полиномиальных тождеств произвольной ассоциативной алгебры над полем F образует Т - И. Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между Т - И. [21]
Так как совокупность полиномиальных тождеств, выполнимых в данном кольце, образует вполне характеристич. Многообразие, соответствующее Г - идеалу тождеств кольца А, наз. [22]
Такие идеалы коротко называются Т - идеалами ( от англ. Алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству, называется PI-алгеброй. [23]
Полином Ф F Y называется центральным полиномом для / - - алгебры А, если Ф 2 ( А) при всех гомоморфизмах 1 з алгебры F Y в А. Если Ф 0 - полиномиальное тождество на алгебре А, то ясно, что полином Ф централен. Из тождества Вагнера следует, что полином ( yoyi - Yiyo) 2 является для алгебры M2 ( F) центральным; он также нетривиален. [24]
Хорошо известло, что представление абсолютно пеприводимо тогда и только т; г ia, когда алгебра матриц, натянутая на него, изоморфна полной матричной алгебре над полем. Левицкого [1] некоторое 2) полиномиальное тождество выполняется в полной матричной алгебре, только если число переменных не меньше удвоенной степени матричной алгебры. Это позволяет определить специальное тождество, тождество абсолютного ранга, ограничивающее абсолютные степени всех главных факторов разрешимой группы. [25]
В предлагаемой работе мы излагаем общую концепцию алгоритмического распознавания алгебраических свойств и сосредотачиваем свое внимание на классе алгебр, универсальным объектом которого является универсальная обертывающая конечномерной алгебры Ли. Распознаванию подвергается свойство алгебры удовлетворять полиномиальному тождеству определенного вида. [26]
В ней дается краткое введение в теорию полиномиальных тождеств на алгебрах. Нашей главной целью является доказательство теоремы Амицура, устанавливающей существование конечномерных центральных простых алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями. Этим обусловлен выбор тем, затронутых в настоящей главе. К счастью, при доказательстве теоремы Амицура используется ряд интересных результатов о полиномиальных тождествах. В их числе - теорема Амицура - Левицкого, теорема о существовании центральных полиномов и теорема Капланского - Амицура о примитивных Р / - алгебрах. [27]
Теперь мы в состоянии показать, что представляют собой алгебры с полиномиальным тождеством. В первой части параграфа дано изложение теоремы Капланского-Амицура. Этот результат является краеугольным камнем теории полиномиальных тождеств. [28]
Для автоматных алгебр справедливы многие утверждения, которые неверны для произвольных ( не мономиальных) конечно определенных алгебр. Например, альтернатива для роста - полиномиальный или экспоненциальный, или импликация наличие полиномиального тождества представимость матрицами. Большинство алгоритмических вопросов в автоматных алгебрах имеет положительное решение. Например, алгоритмически разрешимы проблемы нахождения роста алгебры, наличия полиномиального тождества и представимости, полупростоты, первичности, нетеровости и т.п. При этом алгебраические свойства автоматных алгебр описываются геометрически на языке графов. Для индивидуальных элементов существуют алгоритмы проверки, является ли элемент нильпотентным или делителем нуля. [29]
Предложение а показывает, что каждое множество полиномов определяет многообразие. Наша главная цель в этом параграфе - более точно указать связь между многообразиями и полиномиальными тождествами. [30]