Cтраница 3
Для дальнейшего удобно зафиксировать список переменных. Из результатов § 20.1 следует, что все бесконечные множества переменных приводят к эквивалентным результатам о полиномиальных тождествах. Несчетные множества необходимы лишь для построения больших свободных алгебр. Мы будем обычно опускать в наших обозначениях букву У. Все же мы сохраним обозначение F Y для алгебры слов на стандартном множестве У. [31]
Исторически начало их изучения связано с рассмотрением задачи перечисления п-раскрасок. Многие из следующих далее теорем данного раздела естественно и легко обосновываются на языке л-раскрасок, а для их обобщения на случай произвольного К можно использовать полиномиальные тождества. Однако, в наших доказательствах Я будет рассматриваться всюду как формальная переменная. [32]
В ассоциативной алгебре сумма конечного числа нильпотентных идеалов является нильпотентным идеалом, а сумма произвольного множества нильпотентных идеалов является, вообще говоря, локально нильпотентным идеалом. Конечномерная алгебра яад полем нулевой характеристики, обладающая базисом, состоящим из нильпотентных элементов, нильпотентна. Если алгебра удовлетворяет полиномиальному тождеству степени d, то всякое ее нильпотентное подкольцо в степени [ d / 2 ] принадлежит сумме нильпотентных идеалов. Производная алгебра конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики нильпотентна. Нильпотентные подалгебры, совпадающие со своим нормализатором ( п о д-алгебры Картана), играют существенную роль в классификации простых алгебр Ли конечной размерности. Ли обладает внешним автоморфизмом. [33]
Сложность полиномиального тождества характеризуется параметром, называемым его полиномиальной степенью. Тождества полиномиальной степени 1 называются нематричными, поскольку алгебра матриц второго порядка им не удовлетворяет. В настоящей работе строятся алгоритмы распознавания полиномиальных тождеств, являющихся полиномами этих двух типов. Хотя, при некоторых ограничениях, исследуется распознаваемость нематричных тождеств более общего вида. [34]
Теперь мы в состоянии показать, что представляют собой алгебры с полиномиальным тождеством. В первой части параграфа дано изложение теоремы Капланского-Амицура. Этот результат является краеугольным камнем теории полиномиальных тождеств. [35]
Для автоматных алгебр справедливы многие утверждения, которые неверны для произвольных ( не мономиальных) конечно определенных алгебр. Например, альтернатива для роста - полиномиальный или экспоненциальный, или импликация наличие полиномиального тождества представимость матрицами. Большинство алгоритмических вопросов в автоматных алгебрах имеет положительное решение. Например, алгоритмически разрешимы проблемы нахождения роста алгебры, наличия полиномиального тождества и представимости, полупростоты, первичности, нетеровости и т.п. При этом алгебраические свойства автоматных алгебр описываются геометрически на языке графов. Для индивидуальных элементов существуют алгоритмы проверки, является ли элемент нильпотентным или делителем нуля. [36]
В ней дается краткое введение в теорию полиномиальных тождеств на алгебрах. Нашей главной целью является доказательство теоремы Амицура, устанавливающей существование конечномерных центральных простых алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями. Этим обусловлен выбор тем, затронутых в настоящей главе. К счастью, при доказательстве теоремы Амицура используется ряд интересных результатов о полиномиальных тождествах. В их числе - теорема Амицура - Левицкого, теорема о существовании центральных полиномов и теорема Капланского - Амицура о примитивных Р / - алгебрах. [37]
Устанавливается ряд свойств колец, принадлежащих к указанному классу. Кон [37] дал новое доказательство существования правого кольца частных для кольца без делителей нуля, удовлетворяющего условию максимальности для правых идеалов. Впервые этот результат был получен в упомянутых выше работах Голди. Лесье и Краузо [38] показали, что первичное нетеро во слева кольцо обладает левым кольцом частных, изоморфным полному матричному кольцу над некоторым телом. Сюда же примыкает теорема Поснера [41]: кольцо А является первичным кольцом, удовлетворяющим полиномиальному тождеству, тогда и только тогда, когда А есть подкольцо полного матричного кольца над телом, имеющим конечный ( ранг над своим центром, а двустороннее кольцо частных кольца А совпадает с полным матричным кольцом. [38]
Элементы, представимые в виде линейной комбинации произведений длинных коммутаторов, называются собственными элементами. Например, лиевы элементы являются собственными. Хорошо известно, что всякий вполне характеристический идеал ( Т - идеал) порождается собственными элементами. Мы предполагаем в этой главе, что характеристика поля равна нулю. Предполагается, что читатель знаком с понятием базиса Гребнера. Очевидно, это влечет разрешимость проблемы равенства в А. Свойство лиевой нильпотентности алгебры А означает, что для некоторого г в ней выполняется полиномиальное тождество [ j / i... О - Коммутаторный идеал в такой алгебре нильпотентен индекса q ( г, п), где и - число порождающих алгебры А, и функция g ( r, n) может быть вычислена алгоритмически. [39]