Cтраница 2
На последнем этапе, разумеется, нужно иметь некоторый специальный алгоритм, поскольку количество возможных вариантов, даже при дискретизации задачи, заведомо очень велико. [16]
Выше мы отмечали, что метод локальных вариаций можно рассматривать как метод покоординатного спуска при отыскании минимума аддитивной функции, которая получена дискретизацией задачи оптимального управления. Сейчас мы покажем, что эта интерпретация позволяет нам значительно продвинуться на пути решения задач оптимального управления прямыми методами. [17]
Рассмотрим пример [25], когда нарушение консервативности при построении разностной схемы обусловлено появлением членов, величина вклада которых в общий баланс определяется не физическими законами, а дискретизацией задачи. [18]
Для пояснения математического характера задачи оптимизации конструкции часто бывает полезной замена сплошной конструкции ее дискретным аналогом. Для дискретизации задачи заменим балку некоторой последовательностью жестких стержней, соединенных упругими шарнирами. На рис. 1 введено лишь три шарнира; чтобы получить реалистичные результаты, при дискретизации необходимо использовать намного большее число шарниров. [19]
В работах [138, 139] предложена процедура численного решения основного кинетического уравнения. Численный алгоритм состоит в дискретизации задачи и сведению ее к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [20]
Не следует, конечно, преувеличивать возможности выбора типа критерия в модели без радикального изменения исходной цели операции. Поэтому необходимо наряду с приближенной дискретизацией задачи разрабатывать другие методы. [21]
В любом варианте МГЭ результатом перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным уравнениям в конечном счете является система уравнений, включающая значения переменных только на границе заданной области. Поэтому в отличие от МКЭ и МКР последующая дискретизация задачи проводится только на границе исследуемой области. Последнее обусловливает, во-первых, более высокую по сравнению с МКР и МКЭ точность решения, во-вторых, существенно меньший объем входных данных при реализации методов на ЭВМ. [22]
Выше уже было упомянуто о стандартной возможности приближенной замены множеств М0 и N на дискретные конечные множества М и NA с использованием нахождения максиминов прямым перебором. F ( x, у), то дискретизация задачи не удается, поскольку Мо и Na окажутся бесконечными, лишая тем самым нас возможности произвести необходимый перебор. Тяжелое положение может практически, конечно, создаться и при слишком больших множествах М и А / д, несмотря даже на умеренные требования к точности приближенной замены. [23]
Мне кажется, что этот тезис несколько обедняет содержание книги. Автор, конечно, совершенно прав, когда говорит, что использование ЭВМ неизбежно требует дискретизации задачи и сведения в конечном итоге задачи оптимального управления к задачам нелинейного программирования, пусть специального вида, но все-таки к конечномерным задачам оптимального управления. Точно так же трудно возразить автору, когда он говорит о том, что практически мы можем реализовать только кусочно постоянные управления, а измеримые функции являются практически лишь математическими фикциями. Но тогда зачем автор затрачивает столько усилий для доказательства сходимости. Ведь в действительности мы никогда не можем реализовать счетную последовательность итераций, и сходимость - это тоже, если угодно, некоторая математическая фикция. [24]
Вариационные соотношения (4.5.38) и (4.5.39) представляют слабые формулировки итерационных методов, из которых, задаваясь связью деформаций и перемещений, можно получить в качестве уравнений Эйлера уравнения в перемещениях для различных задач. Однако значение этих соотношений заключается в том, что они являются основой для вывода разрешающих уравнений при различных способах дискретизации задачи, например МКЭ, а также для получения теоретических оценок сходимости методов. [25]
Читателю можно предложить эту задачу в качестве самостоятельного исследования, поскольку детали такой схемы до сих пор не опубликованы. Вторая альтернатива, которая в настоящее время кажется практичнее, состоит в дискретизации задачи ( 120) - ( 122), как описано в разд. Если бы мы воспользовались эвристическим правилом прерывания поиска оптимального решения 6 () задачи ( 125) - ( 128), мы внесли бы ошибку в задачу оптимизации, влияние которой трудно предсказать. [26]
Теперь мы обсудим вопросы: откуда берутся задачи дискретного оптимального управления и почему во многих случаях формулировка задачи оптимального управления в дискретном виде предпочтительнее, чем в непрерывном. Однако цифровые вычислительные машины не могут непосредственно оперировать с такими функциями, они оперируют только с последовательностью чисел. Следовательно, любой численный метод решения задач непрерывного оптимального управления предполагает ту или иную форму дискретизации задачи. Таким образом, задачи дискретного оптимального управления часто являются дискретной формой задачи непрерывного оптимального управления, причем дискретизация осуществляется так, чтобы свести к минимуму математические трудности в оперировании с задачей, а также уменьшить требования к объему памяти и снизить число операций, приходящихся на одну итерацию. [27]
По поводу идеи дискретной аппроксимации необходимо сказать следующее. Однако цифровые вычислительные машины не могут непосредственно оперировать с такими функциями: они производят операции над числами. Следовательно, любой численный метод решения проблем непрерывного оптимального управления предполагает ту или иную форму дискретизации задачи. Таким образом, задачи дискретного оптимального управления часто являются дискретными аналогами задач непрерывного оптимального управления. При этом дискретизация выполняется так, чтобы по возможности свести к минимуму вычислительные трудности, а также снизить требования к объему памяти ЭВМ и уменьшить число операций, приходящихся на одну итерацию. [28]
Итерационные методы позволяют получить наиболее простые вычислительные алгоритмы решения интегральных уравнений. Кроме того, они становятся неизбежными при решении многих нелинейных задач. Примером может служить процесс решения нелинейных интегральных уравнений методом квадратур, который, несмотря на дискретизацию задачи, не освобождает от необходимости применять итерационные процедуры при решении аппроксимирующих нелинейных конечных уравнений. [29]
Матрица ( Е - Afi) не обладает ленточной структурой, поэтому использовалось факторизованное представление матрицы ( Е - Afi) [137], т.е. разложение ее на произведение правых и левых ленточных треугольных матриц и вычисление обратных в виде соответствующего произведения обратных ленточных треугольных матриц. Однако при перемножении этих треугольных матриц получается полная матрица, поэтому используется процедура последовательного перемножения полученных обратных ленточных треугольных матриц на вектор и компактное хранение этих матриц в памяти ЭВМ. Таким образом, описанная процедура не требует дополнительного объема памяти для вычисления матричной экспоненты, что позволяет выбирать достаточно малый шаг при разбиении энергетического интервала, т.е. при дискретизации задачи. [30]