Cтраница 1
Топологи изучают три типа многообразий - топологические ( или непрерывные) многообразия ( ТОР), кусочно-линейные многообразия ( PL), гладкие ( дифференцируемые) многообразия ( DIFF), а также соотношения между ними. Основная проблема топологии многообразий заключается в том, чтобы установить, когда топологическое многообразие допускает PL-структуру, и, если такая структура есть, выяснить, имеется ли согласованная с ней гладкая структура. С начала 50 - х годов известно, что любое топологическое многообразие М размерности 3 допускает единственную гладкую структуру. В высоких размерностях ситуация иная. Кроме того, при тех же ограничениях на размерность имеются препятствия к существованию гладкой структуры на PL-многообразии; они принимают значения в группах гомотопических сфер. В размерности 4 имеется одно важное упрощение, освобождающее нас от необходимости рассматривать кусочно-линейную категорию: каждое четырехмерное PL-многообразие допускает единственную согласованную гладкую структуру. [1]
Топологи Финтушел и Стерн получили новое доказательство ряда частных случаев теоремы Дональде она. Хотя их методы применимы не ко всем формам пересечений, они годятся для многообразий с нетривиальной фундаментальной группой. В их подходе 51Г ( 2) - расслоение, которое использовал Дональдсон, заменяется соответствующим ЗО ( 3) - расслоением. В результате пространство модулей инстантонов для такого расслоения компактно и одномерно, что позволяет заменить построение кобордизма и сигнатурные вычисления простым подсчетом граничных точек. Техника Финтушела и Стерна изложена в гл. [2]
Тополог - это тот, кто набивает чучела. [3]
Исследования топологов начала 60 - х годов показали, что гипотеза Пуанкаре тесным образом связана с некоторыми вопросами теории групп и может быть сформулирована в чисто алгебраических терминах. После того, как в работе [91] было введено понятие сплетающего гомоморфизма, а в работе Джако [71] было доказано ( для ориентируемого случая), что всякий сплетающий гомоморфизм ассоциируется со сплетением Хегора, появился следующий вариант алгебраической переформулировки гипотезы Пуанкаре. [4]
Книга известного американского тополога, содержащая современное изложение теории гомологии и ко-гомологии. Ее характеризует отсутствие формализма, простота и ясность изложения. Изложение основано на систематическом употреблении модифицированных коцепей Александера - Спеньера и ассоциированных с ними цепей. Классические определения гомологии и когомологий фигурируют как способы их вычисления. Много внимания уделяется гомологиям и когомологиям локально конечных клеточных комплексов, а также локально компактных пространств, гомологическим и когомо-логяческим умножениям, теории двойственности в топологических многообразиях. Книга рассчитана на математиков различных специальностей, интересующихся теорией гомологии. Она доступна и для студентов, впервые знакомящихся с этой теорией. [5]
Впрочем, топологи александровской школы и теперь еще придерживаются старой терминологии. [6]
Лефшеца - известного американского тополога, который последние годы занимается качественной теорией дифференциальных уравнений, представляет большой интерес для советского читателя. Автор уделяет особое внимание теории устойчивости по Ляпунову. Он приводит в современных формулировках многие результаты А. М. Ляпунова и его последователей: О. Он хорошо знаком с русскими и советскими работами со этим вопросам. Большое внимание автор уделяет дифференциальным уравнениям с аналитической правой частью п разложениям решений в ряды. Вторая половина книги посвящена исследованию системы двух уравнений. В этой части автор рассматривает топологические вопросы распределения характеристик на плоскости. Он четко разделяет два различных подхода в исследовании характеристик на плоскости, именно, он говорит о локальном фазовом портрете семейства характеристик и о глобальном расположении характеристик. При изучении вопросов локальной теории применяются методы теории функций комплексного переменного, что как бы возрождает классические методы качественного исследования конца XIX и начала XX века. [7]
Одним из простейших понятий тополог ии является понятие связности. Несвязной называют фигуру, состоящую из нескольких отдельных и не связанных между собой кусков ( компонент), например фигура, состоящая из совокупности точек прямолинейного отрезка, из которого изъята какая-либо точка, не лежащая на его конце. Поэтому говорят, что все точки отрезка являются разбивающими, наоборот, окружность не имеет ни одной разбивающей точки, так как изъятие произвольной ее точки не нарушает ее связности. Лемниската, например, имеет точно одну разбивающую точку ( узловая ее точка), удаление которой ( вместе с ее окрестностью) разбивает фигуру на две компоненты, в то время как при изъятии любой другой точки лемнискаты последняя остается связной. Число разбивающих точек, как и число компонент, является топологическим инвариантом фигуры, как это доказывается в топологии. [8]
После этого усилия многих топологов как в СССР, так и за границей, были направлены к тому, чтобы надлежащим образом распространить определение групп Бетти на возможно более широкий класс пространств. Этот закон был первоначально установлен Александером для полиэдров в Е и их дополнений, после того, как группы Бетти были определены им для открытых множеств в Еп. Первая попытка определения групп Бетти для компактов была сделана Вьеторисом ( L. [9]
Дэнис Сулливан - один из талантливейших молодых американских топологов. Его первая работа, законченная им в 1967 г., содержала доказательство Hauptvermutung - основной гипотезы комбинаторной топологии-для односвязных многообразий, четырехмерные когомологии которых не имеют 2-круче-ния. Следующая работа Сулливана ( 1969 г.) была посвящена доказательству важной гипотезы Адамса - некоторого достаточного условия гомотопической тривиальности векторного расслоения. Доказательство этой гипотезы и является главной целью настоящей книги. [10]
Благодаря энергичным и настойчивым усилиям французского тополога Ренэ Тома оба указанных подхода слились в изящной и нетривиальной математике, развитой многими математиками, в первую очередь Мальгранжем, Мезером, Арнольдом, причем в работах последнего установлены глубокие связи теории с другими областями математики. Авторы делают необходимые исторические замечания, но, может быть, нелишне будет упомянуть уже здесь, что основные идеи, сплавом которых оказалась теория катастроф, берут начало в работах X. Гротендик) и что вся теория в сущности - далеко продвинутая глава общей теории динамических систем, которой интенсивно занимаются в последние десятилетия. [11]
В этом давно известном фокусе для тополога нет ничего особо загадочного. [12]
К счастью, фундаментальные математические открытия великого тополога независимы от какой бы то ни было иррациональной философии. [13]
Это означает, что с точки зрения тополога все эти фигуры идентичны, поскольку они гомеоморфны. [14]
Книга предназначена для математиков - алгебраистов и топологов. [15]