Cтраница 2
Идея ориентации не является необходимой в алгебраической топологии, но мы можем ввести ее для того, чтобы получить результаты, которые каким-либо другим образом получить нелегко. По существу она заключается в обобщении понятия вращения по часовой и против часовой стрелки. Обычно говорят, что один из них противоположно ориентирован по отношению к другому. Мы распространим эту идею в двух направлениях: 1) обобщим определение ориентации на симплексы любой размерности; 2) расширим область коэффициентов, которые могут быть приписаны к любому символу, обозначающему симплекс, до кольца всех целых чисел. Возможны другие области коэффициентов в различных вариантах алгебраической топологии, но обсуждение этого отвлекло бы нас. [16]
Нильпотентные действия важны в исследованиях по алгебраической топологии. Говорят, что пространство является нильпотентным, если все эти действия являются нильпотентными; в частности, группа G в этом случае также является нильпотентной. [17]
Настоящая работа посвящена развитию взаимосвязей между алгебраической топологией гладких многообразий и комбинаторикой многогранников. Исследования в этом направлении были стимулированы задачами, возникшими впервые в теории торических многообразий. Центральным понятием данной работы является многообразие с действием компактного тора, определяемое комбинаторной структурой простого многогранника. [18]
Функторы впервые появились в явном виде в алгебраической топологии, где они естественно возникают при описании геометрических свойств посредством алгебраических инвариантов. Например, сингулярная гомология в данной размерности п ( где п - натуральное число) сопоставляет каждому топологическому пространству X абелеву группу Нп ( Х), т.е. n - ю группу гомологии пространства X, а каждому непрерывному отображению топологических пространств /: X - Y - соответствующий гомоморфизм групп Hn ( f): Нп ( Х) - - Hn ( Y), причем Нп оказывается функтором Тор - АЬ. Например, если X Y S1 - окружность, то Hi ( Sl) Z, и гомоморфизм групп Hi ( f): Z - Z определяется целым числом d ( образом единицы); это число - обычная степень непрерывного отображения /: X - Y. В данном случае ( как и в общем) гомотопные отображения f g: X - t - Y дают один и тот же гомоморфизм Нп ( Х) - Hn ( Y), так что Нп в действительности можно рассматривать как функтор Toph - - Grp, определенный на категории гомотопий. Аксиомы гомологии Эйленберга-Стинрода начинаются с утверждения, что Нп при каждом натуральном п является функтором на Toph, и содержат некоторые дополнительные свойства таких функторов. Созданные позднее теории исключительных гомологии и когомологий тоже имеют дело с функторами на Toph. [19]
Теория гомологии и когомологий как составная часть алгебраической топологии излагается во многих книгах, посвященных этому разделу математики. В настоящей книге эта теория вместе с ее традиционными применениями находит наиболее полное отражение, приобретая вполне завершенный вид. Много внимания уделяется различным вариантам гомологических и когомологических умножений и их роли в описании двойственности Пуанкаре - Лефшеца в топологических многообразиях. Книга существенно выделяется среди прочих не только полнотой изложения, но и рядом других особенностей. [20]
Книга является непосредственным продолжением книги Лекции по алгебраической топологии. [21]
Группы когомологий являются одним из важнейших функторов алгебраической топологии, и ] мы их подробно изучим в следующем семестре. [22]
Фактически единственный на русском языке учебник по алгебраической топологии, охватывающий все ее основные разделы. В нем подытожены результаты классического периода в развитии алгебраической топологии, и потому, несмотря на почти двадцать лет, прошедшие со дня выхода в свет английского оригинала, эта книга сохранила определенную свежесть до сего времени. I посвящена гомотопиям вообще фундаментальной группе в частности, а гл. Высшие гомотопические группы и клеточные пространства рассматриваются в гл. [23]
Для чтения этой книги необходимо знание начального курса алгебраической топологии. Требования в этом направлении весьма минимальны вплоть до второй части главы III, где нам понадобится теория Чеха. Двойственность Пуанкаре не используется до главы IV, а спектральные последовательности появляются лишь в главе VII. При этом, конечно, несколько теряется общность формулировок многих теорем, но мы думаем, что это не страшно. Большинство современных результатов касается гладких и локально гладких действий, где эта потеря общности практически неощутима. [24]
Для дальнейшего изложения нам нужен следующий результат из алгебраической топологии. [25]
Книга посвящена теории узлов, одной из ветвей алгебраической топологии, отличающейся своеобразной красотой и наглядностью, а также связями с другими разделами математики. [26]
Теория узлов, одна из самых старых частей алгебраической топологии, принадлежит к числу тех разделов математики, где ставить естественные вопросы гораздо легче, чем отвечать на них. Поэтому, несмотря на то, что ею занимаются многие математики уже почти девяносто лет, полученные в ней результаты довольно скромны и многие основные проблемы все еще ждут своего решения. Особенно парадоксально то, что в теории узлов зачастую проблемы многомерной топологии решаются гораздо легче, чем аналогичные им проблемы в обычном трехмерном пространстве. Источником алгебраических трудностей в теории узлов является то, что используемая в ней алгебра по своему существу некоммутативна, причем возникающие в ней алгебраические вопросы весьма нестандартны с точки зрения чистой алгебры, что затрудняет применение известных алгебраических результатов к теории узлов. [27]
Настоящая книга является непосредственным продолжением книги Лекции по алгебраической топологии. Напомню, что в указанной книге была отражена лишь первая часть курса по теории гомотопий, который я неоднократно читал для студентов и аспирантов МГУ. Вторая его часть ( которая и отражена в предлагаемой читателю книге) состоит из 9 локций. [28]
Доказательство этого факта требует использования некоторых более глубоких результатов алгебраической топологии, чем использованные выше, так как мы должны заменить геометрические соображения рис. II 1.1 более общими алгебраическими соображениями. Мы, однако, кратко наметим доказательство этого более общего результата. [29]
Аналогичный эффект стабилизации наблюдается и для многих других функторов алгебраической топологии. Можно даже сказать, не впадая в сильное преувеличение, что современная алгебраическая топология в основном нацелена на исследование стабилизированных функторов. [30]