Cтраница 2
Кусочно линейная гомеоморфность является основным отношением эквивалентности в кусочно линейной топологии. [16]
В любом конечномерном ( и только в конечномерном) пространстве линейная топология единственна. [17]
Второе утверждение непосредственно следует из первого, Допустим, что ( Е, /) - нетощее топологическое векторное пространство и что V - некоторая линейная топология в Е, обладающая базой окрестностей нуля, образованной / - замкнутыми множествами. Покажем, что U есть / - окрестность нуля. Из свойств топологии / вытекает существование такой уравновешенной / - замкнутой / - окрестности нуля У, что I / Vcz U. Множество V содержит тогда некоторое множество вида x W, где х Е и W - / - окрестность нуля. [18]
Если же пространство G не локально выпукло, го замечаем, что множества V ( A, W) ( где А к W переменны) образуют базу окрестностей нуля некоторой линейной топологии t в F, причем каждое из этих множеств замкнуто в F. [19]
Допустим, что линейная топология V обладает базой окрестностей нуля, образованной / - замкнутыми множествами V. Таким образом, каждое из множеств f - l ( V) есть s - окрестность нуля. Поскольку отображение / открыто, то множество f ( f - l ( V)) есть / - окрестность нуля. Из включения f ( f - l ( V)) cz V вытекает, что тем же свойством обладает и V. Следовательно, топология / слабее топологии /, и поэтому пространство F ультрабочечно. [20]
Кольцо R называется линейно компактным справа [ слева ], если оно линейно компактно как правый [ левый ] - модуль. Всякий компактный модуль с линейной топологией линейно компактен. Линейно компактен и всякий модуль с линейной топологией, удовлетворяющий условию минимальности для замкнутых подмодулей. Всякий линейно компактный модуль полон. [21]
Однако, в то время как результаты, достигнутые в гладкой топологии, вполне удовлетворительно отражены в литературе, до появления книги К. Сандерсона никаких книг по кусочно линейной топологии ( будь то учебники или монографии) не было. [22]
Всякий компактный модуль с линейной топологией линейно компактен. Линейно компактен и всякий модуль с линейной топологией, удовлетворяющий условию минимальности для замкнутых подмодулей. Всякий линейно компактный модуль полон. [23]
В настоящее время кусочно линейная топология является наиболее важным разделом геометрической топологии, поскольку Керби и Зибенман [ R. Хорошо развита также теория сглаживания ( см. раздел Q списка литературы), связывающая кусочно линейную топологию с дифференциальной, основные проблемы которой сведены к настоящему времени к чисто гомотопическим задачам. [24]
Таким образом, 0 - h ( f) C logs ( / 2) и, следовательно, для гомеоморфизма f гипотеза об энтропии не выполняется. Конструкция f основана на дальнейшем развитии идеи с надстройкой с привлечением некоторых результатов и методов кусочно линейной топологии. [25]
Применим теперь ТОГ к вопросам, связанным с метризацией ЛТП. Две инвариантные метрики d, d % в линейном пространстве Е называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же линейную топологию. Говорят еще, что d слабее, чем d % ( или подчинена dz), если в таком же отношении находятся соответствующие топологии. [26]
Допустим теперь, что и ( Е0) F и что пространство F ультра-бочечно. В этом случае замечаем, что множества У, получающиеся, когда U пробегает систему окрестностей нуля в Е, образуют базу окрестностей нуля некоторой линейной топологии в F. Каждое из множеств V является, таким образом, окрестностью нуля в F. [27]
В настоящее же время полиэдры вытеснены на периферию алгебраической топологии, а их теория - в значительной мере независимая от алгебраической топологии - называется кусочно линейной топологией. Поэтому употребление термина комбинаторная топология следует признать совершенно устаревшим. [28]
В примере 6.1.4 мы ввели топологию ТА, относительно которой отображение иА пространства В ( А) в / ( или С ( Л) в с, или С0 ( Л) в с0) непрерывно. Фактически всякий раз, когда иА отображает векторное подпространство Е пространства D ( A) в векторное подпространство F пространства CN и Е и F наделены линейными топологиями некоторого весьма общего типа, отображение UA: E - F автоматически непрерывно. [29]
Полиэдры и кусочно линейные отображения обычно определяются с помощью симплициальных разбиений и симплициальных отображений. При нашем подходе эти определения появляются в качестве теорем 2.11. и 2.14, уступив место локально коническим множествам и отображениям. Кусочно линейная топология возникла в 20 - х годах как ветвь геометрической топологии. Ее основоположниками являются Ньюман и Александер. Сама геометрическая топология возникла в конце прошлого века из работ Пуанкаре по дифференциальным уравнениям. Дальнейшее развитие кусочно линейная топология получила в 40 - х годах в работе Уайтхеда по симплици-альным окрестностям. [30]