Cтраница 1
Топос ( /) - пучков Sh ( SET) есть однообъектная дискретная категория, порождаемая одноточечным множеством. [1]
Каждый топос является точной конечно копол-ной категорией со строго инициальным объектом - L, в которой регулярны каждый эпиморфизм и каждый мономорфизм. Если топос 6 является ( 3) - полным для малой категории 5), то он и Ф - кополный. [2]
Если топос невырожден, то его инициальный объект 0 не имеет элементов. В Set эти понятия совпадают, но в общем случае они различны. [3]
Понятие топоса объединяет категории по признаку близости категории множеств. [4]
Для любого топоса 6 и любого объекта X е б функтор F: - - / ДГ, сопоставляющий каждому объекту А е в проекцию F ( A) я: ХХ. [5]
В произвольном топосе имеются копроизведения и, следовательно, имеется объект 1 1, где - знак копроизведения. Стрелки true: 1 - Q и false: 1 - Q определяют стрелку 1 1 - - Q. Если эта стрелка является изоморфизмом, то топос Ж называется классическим. [6]
Из аксиом топоса вытекает много полезных следствий. Например, в топосе всегда существуют все конечные копределы. [7]
Если Ж - топос и D - объект в Ж, то система всех подобъектов Sub D есть частично упорядоченное множество. Основной здесь результат утверждает, что эта решетка является алгеброй Рейтинга. Мы определим сейчас эти алгебры, и будем опираться на сведения о булевых алгебрах и решетках, которые, в частности, можно найти в начале гл. [8]
Во многих случаях топосы позволяют по-новому взглянуть на основания математики; например, применение форсинга в доказательстве независимости континуум-гипотезы хорошо описывается посредством конструкций в топосах ( см. Mac Lane, Moerdijk [1992], Ch. Кроме того, соответствующие топосы могут заменить категорию множеств как основу математики. [9]
Если б - произвольный топос, то для малой категории 3) категория функторов 8f ( S, б) в общем случае топосом не является. [10]
Если Ж - точечный топос, то каждый ненулевой объект в Ж непуст. [11]
Доказывается, что каждый топос обладает объектами-степенями и что категория Ж тогда и только тогда является топосом, когда она конечно полна и обладает объектами-степенями. [12]
Доказывается, что каждый точечный топос является двузначным. [13]
Доказывается, что каждый точечный топос является классическим. [14]
Итак, перечисленные аксиомы топоса выполняются в категории множеств. Из них вытекают многие сильные утверждения. [15]