Cтраница 3
В окружность вписан пятиугольник ABCDE. Через точки пересечения медиан треугольников ЛВС, BCD, CDE, DEA, ЕАВ проведены соответственно перпендикуляры к хордам DE, EA, AB, BC, CD. Доказать, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке. [31]
В окружность вписан пятиугольник ABCDE. Через точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDE, DEA, EAB проведены соответственно перпендикуляры к хордам DE, ЕА, АВ, ВС, CD. Доказать, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке. [32]
Точки А, В и С движутся равномерно с одинаковыми угловыми скоростями по трем окружностям в одну и ту же сторону. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC при этом движется также по окружности. [33]
Докажите, что точки пересечения медиан треугольников AiCiEi и BiDiFi совпадают. [34]
На плоскости даны 4 точки А, В, С, D, являющиеся вершинами выпуклого четырехугольника. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABC, ABD, ACD, BCD являются вершинами четырехугольника, подобного данному. [35]
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: / A BC - / B CA - / C AB. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и А В С совпадают. [36]
Точка К лежит на продолжении стороны АВ треугольника ABC за точку В, точка L - на продолжении стороны В С за точку С, точка М - на продолжении стороны С А за точку А, причем АВ: ВК ВС: CL СА: АМ. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABC и KLM совпадают. [37]
В пирамиде SABC все плоские углы при вершине 5 прямые. Доказать-что вершина S, точка пересечения медиан треугольника ABC и центр описанной около пирамиды сферы лежат на одной прямой. [38]
Каждая из медиан треугольника лежит в плоскости, равноудаленной от двух противоположных граней параллелепипеда. Пересечение трех таких плоскостей содержит точку пересечения медиан треугольника и в то же время совпадает, очевидно, с центром симметрии параллелепипеда. [39]
Проведенные рассуждения показывают также, что точка пересечения медиан треугольника обладает требуемым свойством. [40]
В пирамиде SABC все плоские углы при вершине S прямые. Доказать, что вершина S, точка пересечения медиан треугольника ABC и центр описанной около пирамиды сферы лежит на одной прямой. [41]
В пирамиде SABC все плоские углы при вершине S прямые. Доказать, что вершина S, точка пересечения медиан треугольника ABC и центр описанной около пирамиды сферы лежат на одной прямой. [42]
В пирамиде SABC все плоские углы при вершине S прямые. Доказать, что вершина S, точка пересечения медиан треугольника ABC в центр описанной около пирамиды сферы лежит на одной прямой. [43]
Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника. [44]
Соединим центр О с вершиной А. V пересечения прямой ОА с плоскостью основания BCD является точкой пересечения медиан треугольника BCD. [45]