Точка - фазовое пространство
Cтраница 4
Будем рассматривать системы, в которых приложение к объекту некоторой обобщенной силы связано с фиксированными множествами точек фазового пространства. Такого рода задачи существуют, например, в различного рода ускорительных системах с фиксированным расположением разгонных двигателей. Подобный случай имеет место также, если команды на включение ускорительных двигателей подаются от командоаппаратов, закрепленных в некоторых точках, при достижении движущимся объектом этих точек. [46]
 |
Поглощающее кольцо. максимальный аттрактор в нем - окружность, вероятностно предельное множество - узле в случае о и седло-узел в случае б. [47] |
Вероятностно предельное множество динамической системы - это наименьшее замкнутое множество, содержащее со-предельные множества для почти всех точек фазового пространства. [48]
При переходе от классической механики к квантовой не только изменяются понятия состояния системы и уравнений движения - вместо точки фазового пространства состояние характеризуется Т - функцией и вместо уравнений Гамильтона появляется уравнение Шредингера - но также коренным образом изменяется и отношение этих понятий к опыту. В классической теории мы предполагаем, что какое-то определенное, хотя бы и неизвестное нам микросостояние существует независимо от опыта, и что любой немаксимально полный опыт, выделяющий область фазового пространства ДГ0, лишь определяет границы, внутри которых лежит это микросостояние, никак на него не влияя. [49]
Однако модифицированная форма, исходящая из представления о начальном состоянии, как об области, а не о точке фазового пространства, может быть устранена лишь указанным в § 8 ограничением величины и формы начальных областей. [50]
Как было доказано, даже в простейших задачах предположение о дифференцируемое функции S ( у) во всех точках фазового пространства не всегда выполняется, поэтому применение уравнения Беллмана может оказаться не обоснованным. Дополнительно к этому заметим, что уравнение Беллмана является трудным для решения: во-первых, в него входит заранее неизвестная функция 5 ( у), во-вторых, это - уравнение в частных производных и, наконец, уравнение осложнено символом максимума. В силу указанных трудностей практическое применение метода динамического программирования для решения непрерывных задач оптимального управления ограничено. [51]
В частности, можно легко представить себе ситуацию, когда траектория, описывающая распад твердого раствора, проходит через точки фазового пространства, отвечающие условным минимумам свободной энергии. Соответствующие этим точкам распределения концентрации являются метастабильными. Они могут существовать сравнительно длительное время, так как система может выйти из условного минимума свободной энергии только флюктуационным путем. При этом она должна преодолеть барьер ( перевал на гиперповерхности свободной энергии), отделяющий метастабильное состояние от других состояний, обладающих более низкими значениями свободной энергии. Таким образом, мета-стабильные состояния, возникающие на промежуточных стадиях распада, представляются весьма интересным объектом исследования. Вопрос о распределении концентрации в таких состояниях будет рассмотрен ниже. [52]
Макроскопические величины, такие как скорость, плотность, температура жидкости и концентрация химических веществ, обычно представляются непрерывными функциями точки фазового пространства. Являясь, таким образом, физическими полями, формально эти величины имеют бесконечное число степеней свободы. Однако при появлении порядка и самоорганизации в системе возбуждается только конечное число степеней свободы. Такие системы с упорядочением допускают традиционно понимаемое моделирование ( по крайней мере, численное) простыми динамическими системами. В итоге оказывается, что процесс самоорганизации выводит некоторые коллективные степени свободы на уровень, весьма далекий от теплового хаоса. Эти конечные степени свободы уже могут описываться в терминах макроскопических параметров, играющих роль обобщенных координат в соответствующих динамических моделях аналогично классическим динамическим системам. [53]
Страницы: 1 2 3 4