Точка - гиперповерхность
Cтраница 2
Итак, все точки гиперповерхности F являются точками строгой выпуклости и, следовательно, гиперповерхность F регулярна. [16]
Таким образом, каждая из гиперповерхностей У - содержит S2 изотропных образующих и топология этих гиперповерхностей почти идентична топологии пространства Минковского. Заметим, что две точки гиперповерхности У [ или У - ] лежат на одной и той же образующей в том и только в том случае, когда одно из соответствующих ГНП [ или ГНБ ] содержит другое. [17]
В ближайших рассмотрениях условной кривизной выпуклой гиперповерхности z z ( x) мы будем называть просто площадь ( меру) нормального изображения гиперповерхности. Будем говорить, что в точке X гиперповерхности удельная кривизна ограничена, если для любой достаточно малой окрестности этой точки удельная кривизна в ней ограничена постоянной, не зависящей от выбора окрестности. Если при стягивании окрестности к точке X удельная кривизна в ней неограниченно растет, то будем говорить, что в точке X гиперповерхность имеет бесконечную удельную кривизну. [18]
В этом случае говорят, однако, что имеется двойная точка пересечения. Если такая точка не является особой точкой гиперповерхности ( как, например, вершина конуса), то в этой точке прямая ( 1) касается гиперповерхности. [19]
В настоящее время известно, однако, что эргодических систем в смысле определения Больцмана и Гиббса не существует. Фазовая траектория не может покрыть все точки гиперповерхности непрерывным образом и нигде себя не пересекая. Математическое доказательство этому было дано в 1913 г. независимо Розенталем и Планшерелем. Квазиэргодичность системы не предполагает, что фазовая траектория за время т - - оо покроет всю энергетическую поверхность; некоторая неоднородность р сохраняется. [20]
Рамки изложения не позволяют подробно коснуться риантов схем таких синтезаторов. Однако vni при храпении в памяти анализатора 100 точек гиперповерхности 5 ( 300 значений координат х, у, z) получаются еще не слишком сложными. Можно хранить накапливаемые значения на магнитной ленте, где они записываются по методу частотной модуляции. Следует указать, что весь процесс синтеза такой схемы можно полностью провести на универсальной цифровой машине. Однако при современных скоростях счета этот процесс займет много часов. Поэтому такой метод в настоящее время нецелесообразен. [21]
Пусть F - выпуклая гиперповерхность, хп - последовательность точек гиперповерхности, сходящаяся к точке х0, и ап - опорная гиперплоскость F в точке хп. [22]
Если через данную точку гиперповерхности проходит более одной опорной гиперплоскости, то через эту точку проходит бесконечно много опорных гиперплоскостей. Если среди векторов внешних нормалей к опорным гиперплоскостям, проходящим через данную точку гиперповерхности, есть п линейно независимых, то такая точка гиперповерхности называется конической. Коническая точка гиперповерхности является точкой строгой выпуклости. Точки на выпуклой гиперповерхности, не гладкие и не конические, называются ребристыми. [23]
О является внутренней точкой выпуклого тела, ограниченного гиперповерхностью F. При каких условиях для заданной на сфере S вполне аддитивной функции л существует замкнутая выпуклая гиперповерхность F, которая на произвольном борелевском множестве точек гиперповерхности имеет условную кривизну, равную значению функции [ л на проекции этого множества. Эту задачу мы решим сначала для выпуклых многогранных гиперповерхностей. [24]
Если через данную точку гиперповерхности проходит более одной опорной гиперплоскости, то через эту точку проходит бесконечно много опорных гиперплоскостей. Если среди векторов внешних нормалей к опорным гиперплоскостям, проходящим через данную точку гиперповерхности, есть п линейно независимых, то такая точка гиперповерхности называется конической. Коническая точка гиперповерхности является точкой строгой выпуклости. Точки на выпуклой гиперповерхности, не гладкие и не конические, называются ребристыми. [25]
Это значит, другими словами, что направление нормали лежит в самой гиперповерхности: вдоль гиперповерхности d s mdx1 0 и это равенство выполняется, когда направления 4-векторов dxl и п1 совпадают. Другими словами, вдоль этого направления гиперповерхность касается в данной точке построенного из этой точки светового конуса. Таким образом, построенные ( скажем, в сторону будущего) из каждой точки нулевой гиперповерхности световые конусы лежат целиком по одну из ее сторон, касаясь ( в этих точках) гиперповерхности вдоль одной из своих образующих. Но это свойство как раз и означает, что ( направленные в будущее) мировые линии частиц или световых лучей могут пересекать гиперповерхность лишь в одну сторону. [26]
 |
Сближение кругов. [27] |
Из графика следует, что функция 5 ( а2 3) существенно негладка, немонотонна, имеет локальные экстремумы. Решение задачи при числе центров 5, 6 и более с высокой точностью крайне затруднительно, так как перебор большого числа точек гиперповерхности 5дг в / V-мерном пространстве для нахождения абсолютного экстремума S 1 потребует больших затрат машинного времени. [28]
Говорят, что она имеет положительную нормальную кривизну, если квадратичная форма d2z является положительно определенной. Положительность нормальной кривизны означает, что через данную точку гиперповерхности можно провести сферу ( гиперсферу), внутри которой содержится некоторая окрестность этой точки гиперповерхности. В таком виде это понятие применимо для любой выпуклой гиперповерхности, но обязательно регулярной. Положительность нормальной кривизны выпуклой гиперповерхности, очевидно, обеспечивает ее строгую выпуклость. [29]
В § 3 мы описываем геометрию пространства Минковского. В § 4 вводится соответствие Пенроуза между пространством тви-сторов и пространством Минковского. В этом и состоит упомянутая выше замена основного пространства, при которой точки пространства-времени переходят в комплексные проективные прямые в Р3 ( проективные твисторы), а точки определенной вещественной гиперповерхности из Р3 переходят в изотропные прямые или световые лучи в пространстве Минковского. В § 8 дается краткий обзор основ теории голоморфных векторных расслоений и когомологий на комплексных многообразиях. В § 10 мы кратко поясняем, почему уравнения безмассового поля естественным образом возникают из соответствия Пенроуза. [30]
Страницы: 1 2 3