Cтраница 2
А, свойству отсутствия циклов и у которых размерность множества неблуждающих точек равна нулю. [16]
Отсюда следует, что множество К совпадает с пересечением множества неблуждающих точек диффеоморфизма f с h U / 2 так что эта часть множества И гомеоморфна кан-торову совершенному множеству, а ограничение / К изоморфно топологической цепи Маркова. [17]
Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем: устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. [18]
Тогда можно так продеформировать f в структурно устойчивый диффеоморфизм с нульмерным множеством неблуждающих точек Q, что Q и ограничение f на Q можно явно по-строить, исходя из символических динамических систем, определяемых матрицами, которые получены из матриц цепных отображений Ft путем замены их элементов абсолютными величинами. [19]
Теорема 1.3. Если система (1.3) имеет устойчивую по Лагранжу полутраекторию, то множество неблуждающих точек непусто. [20]
Теперь мы можем доказать, что У-диффеоморфизм коразмерности один, для которого множество неблуждающих точек совпадает со всем многообразием, топологически сопряжен с гиперболическим автоморфизмом тора. [21]
Диффеоморфизмы Морса - Смейла - это в точности структурно устойчивые диффеоморфизмы с конечным множеством неблуждающих точек. [22]
Если х - неблуждающая точка и точка у сопряжена с х, то и у - неблуждающая точка. [23]
В силу теоремы Боуэна [2], топологическая энтропия отображения равна топологической энтропии ограничения этого отображения на множество его неблуждающих точек. Поэтому топологическая энтропия диффеоморфизма Морса - Смейла равна нулю. [24]
Сменл [145] высказал предположение, что при классификации отображений полезным может оказаться рассмотрение их: действия на множестве неблуждающих точек. Точка х е X называется блуждающей точкой отображения Т, если она обладает такой окрестностью U, что Uf Onmz - ( o fn ( U) - 0; в противном случае х называется неблуждающей точкой. Боуэн [22]; показал, что если X - компактное метризуемое пространство, а Т: Х - Х - непрерывное отображение, то предположение - Смейла полностью оправдывается в том, что касается топологической энтропии. [25]
Целью этого параграфа является построение изотопии, переводящей произвольный заданный диффеоморфизм в структурно устойчивый диффеоморфизм, и описание множества неблуждающих точек полученного таким образом диффеоморфизма. [26]
При - изучении грубости диффеоморфизмов и потоков специальное внимание уделялось варианту, когда грубость, так сказать, ограничена на множества неблуждающих точек. Мотивировкой для такого изучения послужила идея о том, что динамика системы в конечном счете ( по прошествии большого времени) концентрируется на множестве неблуждающих точек. Там лежат все предельные множества и, в частности, все периодические и рекуррентные траектории. [27]
Это позволит построить диффеоморфизмы Морса - Смейла и, более обще, структурно устойчивые диффеоморфизмы с самым простым поведением на множестве неблуждающих точек, совместимым с топологическими ограничениями. [28]
Однако оказалось, что существуют динамические системы ( и их даже большинство, хотя строго еще не доказано, что к этому большинству принадлежат и движущиеся жидкости), у которых имеются неблуждающие точки и другого рода. [29]
Для структурной устойчивости системы с более чем двумя степенями свободы по гипотезе Смейла ( 1965) необходимо и достаточно, чтобы у каждого осуществляемого фазовым потоком преобразования 7 / фазового пространства множество Q неблуждающих точек было гиперболическим, а множество периодических точек - всюду плотным в Q ( так называемая аксиома А) и, кроме того, чтобы каждое устойчивое и каждое неустойчивое многообразия точек из Q были бы трансверсальными. Достаточность этих условий доказана в довольно общем виде, а необходимость - пока что лишь при более ограниченном определении структурной устойчивости. [30]