Cтраница 3
Если / - гомеоморфизм, то неблуждающие множества отображений / - 1 и / совпадают. Если пространство Q компактно, то множество неблуждающих точек непусто. [31]
Через И ( а) обозначим множество неблуждающих точек гомеоморфизма а. Это множество инвариантно относительно а и замкнуто. [32]
Диффеоморфизмы Морса - Смейла являются простейшими среди всех диффеоморфизмов. Они удовлетворяют аксиоме А и строгому условию трансверсальности и имеют конечное множество неблуждающих точек. Таким образом, это множество состоит из конечного числа периодических траекторий. [33]
Из того, что диффеоморфизм / является растягивающим вдоль продольных дисков, a f - l - растягивающим вдоль поперечных дисков, следует, что отображение ф в S является инъективным и непрерывным. Другой способ проверить это обстоятельство состоит в том, чтобы заметить, что периодические точки плотны в каждом из двух множеств неблуждающих точек, а отображение ф является топологическим сопряжением. [34]
При - изучении грубости диффеоморфизмов и потоков специальное внимание уделялось варианту, когда грубость, так сказать, ограничена на множества неблуждающих точек. Мотивировкой для такого изучения послужила идея о том, что динамика системы в конечном счете ( по прошествии большого времени) концентрируется на множестве неблуждающих точек. Там лежат все предельные множества и, в частности, все периодические и рекуррентные траектории. [35]
В оригиналах статей данного сборника слово recurrence в качестве точного термина употребляется в смысле Готтшал-ка - Хедлунда и соответственно обычно оно переводилось как устойчивость по Пуассону. Но в статье Шуба, а также Шуба и Сулливана ( где вообще допускаются вольности терминологии) это слово употребляется описательно, обозначая вообще все явления, связанные с возвращением траекторий, вплоть до неблуждающих точек. В этих случаях оно переводилось словом возвращаемость, которое не является точным термином и тем самым указывает, что соответствующее место не носит характера точных формулировок, либо же вся фраза переводилась по смыслу, без дословного соответствия оригиналу. [36]
Сменл [145] высказал предположение, что при классификации отображений полезным может оказаться рассмотрение их: действия на множестве неблуждающих точек. Точка х е X называется блуждающей точкой отображения Т, если она обладает такой окрестностью U, что Uf Onmz - ( o fn ( U) - 0; в противном случае х называется неблуждающей точкой. Боуэн [22]; показал, что если X - компактное метризуемое пространство, а Т: Х - Х - непрерывное отображение, то предположение - Смейла полностью оправдывается в том, что касается топологической энтропии. [37]
Так как вместе с каждой точкой q множество W содержит все точки окрестности U ( q), оно открыто в пространстве R. В связи с этим множество М R W всех неблуждающих точек замкнуто. В компактном пространстве R всякая блуждающая точка / ( q, t) стремится к М, как при t - - - - oo, так и при t - - - оо. [38]
Морса - Смейла системы) и образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех динамич. В больших размерностях ни один из этих фактов не имеет места, как установил С. Он высказал гипотезу, что, несмотря на все эти усложнения, можно и в общем случае сформулировать необходимые и достаточные условия грубости в терминах качественной картины поведения траекторий, а именно: 1) неблуждающие точки должны образовывать гиперболическое множество Q, в к-ром всюду плотны периодич. Достаточность этих условий доказана почти в полной общности, необходимость пока что ( 70 - е гг. 20 в. [39]
Хотя векторное поле Y из этой теоремы не является грубым, можно тем не менее полностью классифицировать все классы топологической эквивалентности векторных полей в малой окрестности off поля Y. Отсюда следует, что если Z6eJ P - поле Морса-Смейла, то Z имеет ровно одну замкнутую траекторию, и эта траектория является репеллером. Если Z не является полем Морса - Смейла, то имеются две возможности: либо Z имеет траекторию, соединяющую седло с ним самим, причем ее замыкание ( топологическая окружность, которая получится, если присоединить к этой сепаратрисе седло) является репеллером, а множество неблуждающих точек поля Z сводится к замыканию этой траектории и стоку, либо число вращения эндоморфизма окружности S, индуцированного полем Z, иррационально, и в этом случае Z удовлетворяет условиям ( I) - ( 4) теоремы. Можно показать, что если эндоморфизмы окружности 2, индуцированные полями Zl и Z2, близкими к Y, имеют одно и то же иррациональное число вращения, то Zt и Z2 топологически эквивалентны. [40]
Гомеоморфизм Т называется разделяющим траектории ( или же неустойчивым [160])), если существует такое число е О ( называемое разделяющей константой гомеоморфизма Т), что если d ( In ( x), T Q /)) s e при всех eZ для некоторых двух точек х, у М, то х у. В работе [22] показано, что если Т - диф-феоморфизм, удовлетворяющий аксиоме. А, то он является разделяющим на множестве своих неблуждающих точек. [41]
Умножив гомеоморфизм B N на некоторый гомеоморфизм h: BN - - N, тождественный на 1К, который существует, в силу результатов Хирша из [ И ], получаем продолжение С гомеоморфизма В на многообразие с краем N. Затем рассматривается дубль М многообразия N с отображением С. Это отображение имеет два инвариантных множества К и / С - Многообразие М допускает гладкую структуру. Таким образом, построенный гомеоморфизм f многообразия М имеет конечное множество неблуждающих точек и, следовательно, нулевую топологическую энтропию. [42]
Такое фазовое пространство является канторовым дисконтинуумом: оно может быть приведено во взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие с множеством чисел из отрезка [ О, 1 ], троичные разложения которых не содержат единиц. Периодическими точками этого преобразования будут последовательности, состоящие из повторяющихся блоков конечной длины. Они всюду плотны в фазовом пространстве, так что Q совпадает со всем пространством и, значит, является канторовым дисконтинуумом. Смейл ( 1967) доказал, что в широком классе типичных динамических систем каждая гомоклиническая точка принадлежит некоторому замкнутому инвариантному относительно преобразования Т подмножеству А множества неблуждающих точек Q, являющемуся канторовым дисконтинуумом, причем на Л некоторая степень Тт преобразования Т топологически эквивалентна сдвигу Бернулли. [43]