Cтраница 3
Итог высказанных в данной главе положений состоит в следующем. Неустойчивость как причина наблюдаемого выпучива ния связывается с появлением в процессе деформирования особых точек бифуркационного или псевдобифуркационного типа. Само выпучивание происходит сразу за первой бифуркационной точкой. Если бифуркационные точки в процессе отсутствуют или им предшествуют псевдобифуркационные точки, то выпучивание наступает после прохождения N таких точек, где число N определяется свойствами материала. Выделение соответствующих критических параметров на основе метода упругого эквивалента и составляет содержания последующих глав. [31]
Если детекторная характеристика пересекает управляющую характеристику на ветви устойчивых значений, то в системе будет существовать устойчивый режим и релаксации отсутствуют. При дальнейшем уменьшении v детекторная характеристика пересечет управляющую характеристику на ветви неустойчивых значений и в системе возникнут релаксации. Если еще уменьшать частоту внешнего возбуждения v, то в момент, когда нижняя бифуркационная точка управляющей характеристики окажется правее точки г / 0, релаксационные колебания в системе прекратятся. Следует отметить, что аналогично анализируется работа нелинейной системы, если vco. При дальнейшем приближении v к со в системе может произойти переброс по амплитуде высокой частоты из нижнего устойчивого состояния ( точка D) в верхнее ( точка К), что приведет к появлению детектирования и возникновению положительной обратной связи и появлению релаксаций, если детекторная характеристика пересечет ветвь неустойчивых значений управляющей характеристики. При дальнейшем увеличении v детекторная характеристика будет уже пересекать ветвь устойчивых значений и релаксации исчезнут. Затем исчезнут точки пересечения управляющей характеристики с детекторной характеристикой, что приводит к исчезновению детектирования. [32]
Итог высказанных в данной главе положений состоит в следующем. Неустойчивость как причина наблюдаемого выпучива ния связывается с появлением в процессе деформирования особых точек бифуркационного или псевдобифуркационного типа. Само выпучивание происходит сразу за первой бифуркационной точкой. Если бифуркационные точки в процессе отсутствуют или им предшествуют псевдобифуркационные точки, то выпучивание наступает после прохождения N таких точек, где число N определяется свойствами материала. Выделение соответствующих критических параметров на основе метода упругого эквивалента и составляет содержания последующих глав. [33]
Эти изменения и переходы при непрерывном и монотонном изменении параметра происходят не постепенно, а скачками при прохождении через отдельные значения параметра. Эти скачкообразные изменения называются бифуркациями, а значения параметра, при которых они происходят - бифуркационными. Для изучения бифуркаций и множества бифуркационных значений параметров целесообразно ввести в рассмотрение пространство параметров динамической системы. Интервалы, лежащие между бифуркационными точками, соответствуют неизменности типа состояния равновесия или периодического движения. В более общем случае это многомерное пространство параметров разбито на области некоторым множеством бифуркационных поверхностей, размерности па единицу меньшей, чем размерность пространства. Каждой точке этого пространства параметров соответствует конкретная динамическая система. Некоторые из областей, на которые разбивается пространство параметров бифуркационными поверхностями, соответствуют наличию у динамической системы устойчивых состояний равновесия или периодических движений. На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений ( состояний равновесия и периодических движений) является частью более общей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Значимость теории бифуркации состоит и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, не зависящей ни от каких параметров. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [34]
Следующий шаг состоит в изучении зависимости особых точек и периодических движений от параметров, в изучении того, как происходит переход от одного типа особой точки или периодического движения к другому, как они возникают и исчезают. Эти изменения и переходы при непрерывном и монотонном изменении параметра происходят не постепенно, а скачком при прохождении через отдельные значения параметра. Эти скачкообразные изменения называются бифуркациями, а значения параметра, при которых они происходят, - бифуркационными. Для изучения бифуркаций и множества бифуркационных значений параметров целесообразно ввести в рассмотрение пространство параметров динамической системы. Интервалы, лежащие между бифуркационными точками, соответствуют неизменности типа состояния равновесия или периодического движения. В более общем случае это многомерное пространство параметров, разбито на области некоторым множеством бифуркационных поверхностей, размерности на единицу меньшей, чем размерность пространства. Каждой точке этого пространства параметров соответствует конкретная динамическая система. Некоторые из областей, на которые разбивается пространство параметров бифуркационными поверхностями, соответствуют наличию у динамической системы устойчивого состояния равновесия или периодического движения. [35]