Cтраница 1
Дважды вырожденные критические точки (1.15), (1.16) на кривых складок (1.19) поверхности катастроф (1.15) являются решением уравнений, определяющих срыв теплового равновесия по Семенову. [1]
Вырожденные критические точки энергетической гиперповерхности играют важную роль в анализе эффектов вклада колебательной энергии в полную энергию молекулы. Недавно отмечалось [171-173], что существование молекулы IHI в значительной степени определяется колебательной стабилизацией и дестабилизацией в различных доменах соответствующего пространства ядерных конфигураций. Хотя на борн-оппенгеймеровской поверхности потенциальной энергии основного электронного состояния IHI не существует истинного невырожденного минимума ( только вырожденные минимумы при бесконечно разделенных ядрах), тем не менее уменьшение энергии нулевых колебаний в окрестности седловой точки гиперповерхности приводит к связанному состоянию в этой окрестности. При учете компонент колебательной энергии аналогичные химические структуры, не отвечающие истинным минимумам ППЭ, стабильные молекулы или структуры переходных состояний могут возникать в доменах, где качественные характеристики гиперповерхностей потенциальной энергии не указывают на их наличие. [2]
Однако вырожденная критическая точка х0 гладкой функции / не всегда является бифуркационной точкой. [3]
Тем не менее вырожденные критические точки могут встречаться, и для них необходимо особое рассмотрение. Квадратичные аппроксимации доменов потенциальных поверхностей, такие, как метод GF-матрицы Уилсона [170], непригодны для рассмотрения вырожденных критических точек [36, 37] ( за исключением тривиального случая постоянной величины Е), поскольку в вырожденной критической точке как линейный, так и квадратичный члены ряда Тейлора равны нулю по определению. Например, бесконечно много сечений обезьяньего седла [36, 37], содержащих центральную вырожденную критическую точку гс, должны иметь 8-форму в любом бесконечно малом открытом интервале, содержащем гс, что свидетельствует о преобладании в разложении в ряд Тейлора кубического члена или членов более высоких нечетных степеней. [4]
Важным случаем вырожденных критических точек гладких функций / на многообразии М являются так называемые невырожденные критические многообразия. Wk был квадратичной формой ранга n - at, т.е. форма d2 / должна быть невырождена на линейном пространстве векторов, нормальных к Wk в Af в некоторой римановой ( положительной) метрике. [5]
Нормальные формы для функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Aff, Dk и Е /, и лангранжевы особенности. [6]
Действительно, пусть ф - вырожденная критическая точка. [7]
Vc ( x) имеет вырожденную критическую точку. Значит, В представляет собой место, где меняется число и природа критических точек; ввиду структурной устойчивости морсовских функций такое изменение может произойти лишь при переходе через вырожденную критическую точку. Конечно, в каждом данном случае это может быть проверено прямым подсчетом. [8]
Один более прославленный вариант леммы Морса позволит нам навести определенный порядок в вырожденной критической точке, расщепив функцию на морсовский кусок, зависящий от части переменных, и вырожденный кусок, зависящий от остальных переменных, число которых равно корангу особенности. Это важный и мощный результат, имеющий основное значение для всей теории, но при всем том он мог бы появиться на свет гораздо раньше - его доказательство вполне элементарно и не требует привлечения никаких глубоких теорем теории катастроф. [9]
В некотором достаточно сильном смысле слова эта теорема утверждает, что поведение функции вблизи вырожденной критической точки можно изучить, привлекая лишь число переменных, равное корангу матрицы Гессе. [10]
В действительности все функции на рис. 4.2 имеют невырожденные критические точки, а на рис. 4.3 - вырожденные критические точки. [11]
Гессе ( d2f / dzjdzk) невырождена в точке 2, в противном случае точка z называется вырожденной критической точкой. [12]
Каустика семейства состоит из тех значений параметров ( Л, а, Ь), для которых функция имеет вырожденную критическую точку. Эта поверхность в трехмерном пространстве имеет вид пирамиды, горизонтальные сечения которой ( А const) являются гипоциклоидами с четырьмя точками возврата, малыми вместе с А. [13]
Если v ( x) - градиентное векторное поле с гармоническим потенциалом ( р, для которого х 0 - вырожденная критическая точка, два первых шага первого метода Ляпунова могут быть выполнены следующим образом. [14]
Если же нашлась такая пара индексов i j, что А - AJ, то тогда сфера 5J - целиком состоит из вырожденных критических точек функции / и так как этих точек - континуум, то искомое утверждение, очевидно, выполнено. [15]