Cтраница 2
Прямым следствием теоремы является то, что структурная неустойчивость может быть установлена по одному из двух механизмов: в бифуркационном механизме зарядовое распределение имеет вырожденную критическую точку, тогда как конфликтный механизм характеризуется нетрансверсальным пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий пар критических точек в зарядовой плотности. Теория катастроф может быть использована для математической модели структурных изменений в окрестности точки бифуркации путем анализа универсальных разверток, связанных с сингулярностями особых типов. [16]
Топология бассейновой области ( реакционная топология) Тс, соответствующие соотношения соседства и реакционные схемы являются сравнительно простыми, если Е ( К) не имеет вырожденных критических точек. [17]
Определим бифуркационное множество JB для функции Ф ( х; и), т.е. множество меры нуль в пространстве управляющих параметров ( u e R2), точки которого параметризуют функцию Ф ( х; и) с вырожденными критическими точками. [18]
Таким образом, критическая точка сдвинулась ( причем величина смещения гладко зависит от е), но не изменила своего типа. Для вырожденных критических точек картина оказывается совершенно иной. Итак, х3 как критическая точка структурно неустойчива. [19]
Оставшаяся часть доказательства более трудна. Мы будем шаг за шагом изменять f во внутренней области W, удаляя вырожденные критические точки. Для осуществления этого плана нам потребуются три леммы, область применения которых - евклидово пространство. [20]
Распространение понятия структурной устойчивости на случай семейств функций позволяет существенно пояснить все. Структурно устойчивое семейство, как правило, включает в себя отдельные функции с вырожденными критическими точками, и, грубо говоря, чем больше семейство, тем сильнее может быть вырожденность. Окружающие члены семейства как бы сдерживают, успокаивают вырожденную функцию; это формализуется во введенном Томом понятии деформации 1, которое мы изучим в гл. В данной главе мы обсудим этот тип структурной устойчивости и установим его связь с предыдущими примерами; относящаяся сюда математическая теория будет развита в гл. [21]
Тем не менее вырожденные критические точки могут встречаться, и для них необходимо особое рассмотрение. Квадратичные аппроксимации доменов потенциальных поверхностей, такие, как метод GF-матрицы Уилсона [170], непригодны для рассмотрения вырожденных критических точек [36, 37] ( за исключением тривиального случая постоянной величины Е), поскольку в вырожденной критической точке как линейный, так и квадратичный члены ряда Тейлора равны нулю по определению. Например, бесконечно много сечений обезьяньего седла [36, 37], содержащих центральную вырожденную критическую точку гс, должны иметь 8-форму в любом бесконечно малом открытом интервале, содержащем гс, что свидетельствует о преобладании в разложении в ряд Тейлора кубического члена или членов более высоких нечетных степеней. [22]
Если рассматривать отдельные функции, то структурно устойчивы только морсовские критические точки, и только морсовские точки возникают типичным образом. Глава 5 показывает, однако, что в вопросах, связанных с семействами функций, может оказаться необходимым иметь дело с неустойчивыми, вырожденными критическими точками; в действительности именно в них могут отражаться наиболее интересные черты изучаемого явления. [23]
Например, та теорема, что максимальное число критических точек для почти всякой близкой функции превышает коразмерность на единицу, в нашем случае означает, что возможно любое число критических точек. Это можно увидеть и прямо: функция ( х2 а) 2 - е ( д г г / 2) имеет окружающую начало кольцевую долину вырожденных критических точек ( типа желоба, см. § 1 гл. Картина одна и та же для всех положений центра тяжести судна G прямо над острием М прокрученного клюва, и поэтому истинное бифуркационное множество таково, как на рис. 10.30, а не на рис. 10.28. Одна из поверхностей на рис. 10.25 ( Ь) сжалась в луч N вырожденных точек. [24]
Vc ( x) имеет вырожденную критическую точку. Значит, В представляет собой место, где меняется число и природа критических точек; ввиду структурной устойчивости морсовских функций такое изменение может произойти лишь при переходе через вырожденную критическую точку. Конечно, в каждом данном случае это может быть проверено прямым подсчетом. [25]
Тем не менее вырожденные критические точки могут встречаться, и для них необходимо особое рассмотрение. Квадратичные аппроксимации доменов потенциальных поверхностей, такие, как метод GF-матрицы Уилсона [170], непригодны для рассмотрения вырожденных критических точек [36, 37] ( за исключением тривиального случая постоянной величины Е), поскольку в вырожденной критической точке как линейный, так и квадратичный члены ряда Тейлора равны нулю по определению. Например, бесконечно много сечений обезьяньего седла [36, 37], содержащих центральную вырожденную критическую точку гс, должны иметь 8-форму в любом бесконечно малом открытом интервале, содержащем гс, что свидетельствует о преобладании в разложении в ряд Тейлора кубического члена или членов более высоких нечетных степеней. [26]
Формулы ( 1) и ( 2) означают, что фронт производящего семейства гиперповерхностей состоит из тех точек пространства параметров, для которых гиперповерхность семейства особа, а каустика производящего семейства функций состоит из тех точек пространства параметров, для которых функция семейства имеет вырожденные критические точки, т.е. такие точки, в которых дифференциал функции обращается нуль, а квадратичная форма второго дифференциала вырождена. [27]
Линии тока движущейся жидкости образуют семейства кривых, которые при выполнении определенных физических предположений могут быть рассматриваемы как линии уровня некоторой вещественной функции. Точки торможения потока ( точки, где скорость течения равна нулю) отвечают критическим точкам этой функции. Структурная неустойчивость вырожденных критических точек ведет к неустойчивости топологической картины линий тока; правила теории катастроф, относящиеся к деформациям, позволяют провести анализ таких неустойчивостей. [28]
Тем не менее вырожденные критические точки могут встречаться, и для них необходимо особое рассмотрение. Квадратичные аппроксимации доменов потенциальных поверхностей, такие, как метод GF-матрицы Уилсона [170], непригодны для рассмотрения вырожденных критических точек [36, 37] ( за исключением тривиального случая постоянной величины Е), поскольку в вырожденной критической точке как линейный, так и квадратичный члены ряда Тейлора равны нулю по определению. Например, бесконечно много сечений обезьяньего седла [36, 37], содержащих центральную вырожденную критическую точку гс, должны иметь 8-форму в любом бесконечно малом открытом интервале, содержащем гс, что свидетельствует о преобладании в разложении в ряд Тейлора кубического члена или членов более высоких нечетных степеней. [29]
Здесь аналогичную роль играет линеаризованная теория, которую очень точно можно описать как предел для случая малых возмущений. Вблизи морсовского минимума ( или седла) она дает хорошее описание, но при приближении к вырожденной критической точке приходится вернуть члены более высокого порядка. [30]