Cтраница 3
Говорят, что совокупность всех этих рациональных точек образует на числовой оси всюду плотное множество. Точнее, не вводя чуждых понятий, можно иначе выразить то же самое следующим образом: между любыми двумя рациональными точками имеется еще по крайней мера одна рациональная точка. Следствием этого является то, что из совокупности всех рациональных чисел г. сегда можно выделить часть, не содержащую ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Примером может служить совокупность всех рациональных дробей, содержащихся между нулем и единицей, если сами эти два числа не включать. [31]
В каждом составляющем интервале выделим некоторую рациональную точку. Тем самым мы устанавливаем соответствие между составляющими интервалами и выбранными нами рациональными числами. А так как всякое множество рациональных чисел не более чем счетно, то и множество составляющих интервалов не более чем счетно. [32]
Всякое главное однородное пространство, имеющее рациональную точку VQ над основным полем, изоморфно А ( изоморфизм определяется отображением а - ato), и любое главное однородное пространство имеет точку в некотором конечном сепарабельном расширении основного поля. [33]
Конструкция Хр аналогична конструкции 2-накрытия по рациональной точке на эллиптической кривой (3.40); так же устанавливается, что редукция полученной кривой хорошая вне S над 5U 2, а конечность расширения К / К выводится затем из теоремы Эрмита. [34]
Мы утверждаем, что в каждой рациональной точке функция имеет обыкновенные разрывы, в то время как в каждой иррациональной точке она непрерывна. [35]
А функции, непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных, не существует. [36]
Функция Дирихле, значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных - нулю, не имеет предела ни в одной точке х0 числовой прямой. Действительно, для сходящейся в точке х0 последовательности рациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен единице, а для сходящейся в точке х0 последовательности иррациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен нулю. [37]
Функция Дирихле, значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных - нулю, не имеет предельного значения ни в одной точке а бесконечной прямой. Действительно, для сходящейся к а последовательности рациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен единице, а для сходящей ся к а последовательности иррациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен нулю. [38]
Доказанное предложение можно выразить так: все рациональные точки нашей окружности выражаются формулами ( 5), где Я обозначает любое рациональное число. Этим наша задача собственно решена; нам остается только сделать переход к целым числам. [39]
Непрерывна в каждой иррациональной точке, каждая рациональная точка - точка устранимого разрыва. [40]
Теперь нетрудно доказать следующее предложение: каждая рациональная точка окружности проектируется из точки S рациональным лучом и, обратно, каждый рациональный луч ( 4) пересекает окружность в рациональной точке. [41]
Последующие три задачи книги сводятся к отысканию рациональных точек на кубических поверхностях. Примененные при их решении методы эквивалентны проведению пучка плоскостей, каждая из которых проходит через бесконечно удаленную прямую, лежащую на поверхности. Кривая, полученная в сечении, распадается на две компоненты: прямую и коническое сечение. Подобрав параметр так, чтобы на коническом сечении имелась рациональная точка, Диофант обычным способом находит другие рациональные точки этой кривой. [42]
Обозначим через D объединение D и всех рациональных точек границы. [43]
Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных точек числовой прямой и множеством тех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны. [44]
К / k, что V имеет рациональную точку в К. [45]