Cтраница 1
Иррегулярная точка, как правило, является концом острия, входящего в состав границы S области D, и направленного во внутрь этой области. [1]
Для иррегулярной точки О существует по определению исключительная последовательность fn ( z) функций семейства такая, что ни одна подпоследовательность не может сходиться равномерно в круге с центром О, как бы мал он ни был. Результатом этого является то, что функции / п () этой последовательности в произвольно малом круге принимают в своей совокупности все значения кроме, быть может, двух. Обратно, это свойство характеризует исключительную последовательность. [2]
Порядок каждой иррегулярной точки, очевидно, конечен. Так как этот порядок равен числу нулей или числу полюсов fn ( z), близких этой точке, то полный порядок также конечен, потому что число полюсов и нулей не может превосходить q г. Заметим, наконец, что если предельная функция f ( z) не есть тождественная бесконечность, то она может иметь полюсами только точки, предельные для полюсов всех функций последовательности, независимо от того, будут эти точки иррегулярными или нет. [3]
Множество g иррегулярных точек; Рассмотрим теперь множество иррегулярных точек, около которых последовательность Rn ( z) не будет нормальна. Такое множество всегда существует и содержит бесконечное множество точек. В самом деле, мы видели, что точки ц, которые принадлежат отталкивающим циклам, образуют часть и число их неограниченно. [4]
Множество всех иррегулярных точек Г есть множество типа Fa емкости нуль. [5]
Формулы больших молекул для иррегулярных точек обычно не применяются вследствие их непрактичности. [6]
Авторы устанавливают структуру множества иррегулярных точек сходящейся последовательности и изучают свойства предельной функции. Доказывается также теорема о том, что произвольная функция, непрерывная на континууме пространственной меры нуль, не разбивающем пространства, является пределом равномерно сходящейся последовательности гармонических полиномов. Этим путем в работах М. В. К е л д ы ш а [4] были найдены необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять континуум, не разбивающий пространства для того, чтобы всякая непрерывная на нем функция, регулярная во внутренних точках, разлагалась в равномерно сходящийся ряд гармонических полиномов. Этот последний результат дает, в известном смысле, трехмерный аналог моногенных функций Бореля. [7]
Сходящаяся последовательность мероморфных функций может иметь иррегулярные точки и не сходиться к тождественной бесконечности; она может, сходиться вне этих точек к мероморфной или к голоморфной функции. [8]
Мы говорим, что z0 есть иррегулярная точка порядка ji, если уравнения / й ( г) а, начиная с некоторого индекса, допускают не более JJL корней вблизи ZQ кроме, быть может, одного значения а, и для бесконечного множества функций fn ( z) предел i действительно достигается. [9]
В самом деле, если А - иррегулярная точка, то существует последовательность ( S) функций, которая сходится равномерно вне точки Л, причем ни одна последовательность, выбранная из ( 5), не сходится равномерно в А. Если же будет существовать бесконечное множество функций из ( 5), не принимающих значения а, то эта последовательность будет сходиться в точке А равномерно. [10]
О, так как регулярное прохождение через иррегулярную точку уменьшает ( а х) на единицу. [11]
Множество g иррегулярных точек; Рассмотрим теперь множество иррегулярных точек, около которых последовательность Rn ( z) не будет нормальна. Такое множество всегда существует и содержит бесконечное множество точек. В самом деле, мы видели, что точки ц, которые принадлежат отталкивающим циклам, образуют часть и число их неограниченно. [12]
Это изменение можно выбрать так, чтобы при этом все иррегулярные точки L стали точками непрерывности функции v ( х, у), в то время как ы0 ( х, у) в каждой внутренней подобласти области G изменится сколь угодно мало. Подобным же образом предельная теорема может быть доказана и для более общих областей. [13]
КЕЛЛОГА - ЭВАНСА ТЕОРЕМА, лемма Келлога: множество всех иррегулярных точек границы произвольной области D евклидова пространства R, ге2, относительно обобщенного решения Дирихле задачи для D в смысле Винера - Перрона ( см. Перрона метод) имеет нулевую емкость, является полярным множеством и имеет тип Fa. К - компакт положительной емкости в R п D - связная компонента дополнения С К, содержащая бесконечно удаленную точку, то на границе ODcK существует по крайней мере одна регулярная точка. [14]
Итак, точка А ке может быть в этом случае иррегулярной точкой. Иррегулярные точки могут существовать только, если вне этих иррегулярных точек последовательность сходится к бесконечности; другими словами: если квазк-нормальное семейство не имеет предельной функцией тождественную бесконечность, то оно необходимо нормальное семейство. [15]