Cтраница 2
Этим я заканчиваю обзор вопросов, относящихся к теории чисел, оставляя последний из них - доказательство трансцендентности чисел - к концу лекций. [16]
Этим доказана теорема Линдемана в ее упомянутом выше частном случае, а вместе с ней и предложение о трансцендентности числа л, которое в ней содержится. [17]
Метод Лиувилля не позволяет, однако, доказать трансцендентность многих чисел, играющих важную роль в математике, таких, например, как числа е и я. Трансцендентность числа е была доказана в 1873 г. французским математиком Эрмитом. Развивая методы Эрмита, немецкий математик Линдеман ( ученик Вейер-штрасса) в 1882 г. доказал трансцендентность числа я и многих других чисел. [18]
Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно строить лишь такие геометрические фигуры, площадь которых выражается алгебраическим числом. Поэтому трансцендентность числа я указывает на невозможность решения задачи о квадратуре круга. [19]
Доказательство трансцендентности числа Ig 2 значительно сложнее, чем доказательство его иррациональности, и основано на методах гораздо более общих и глубоких, чем те, которые используются при доказательстве его иррациональности. [20]
А доказательство трансцендентности числа тг, проведенное Линдеманом в 1882 году, было большим научным событием: ведь из него следовала невозможность квадратуры круга. [21]
Трансцендентными числами будут и хорошо известные числа е и я; их трансцендентность была доказана в конце девятнадцатого века. Вопрос об алгебраичности или трансцендентности числа л связан с решением одной геометрической задачи, сформулированной еще за несколько веков до нашей эры. [22]
Трансцендентными числами будут и хорошо известные числа ил; их трансцендентность была доказана в конце XIX века. Вопрос об алгебраичностн или трансцендентности числа я связан с решением одной геометрической задачи, сформулированной еще за несколько веков до нашей эры. Эта задача называется задачей о квадратуре круга и формулируется так: можно ли с помощью только циркуля и линейки построить квадрат с площадью, равной площади круга единичного радиуса. [23]
Трансцендентными числами будут и хорошо известные числа е и я; их трансцендентность была доказана в конце девятнадцатого века. Заметим, что вопрос об алгебраичностн или трансцендентности числа я тесно связан с решением одной геометрической задачи, сформулированной еще за несколько веков до кашей эры. [24]
До 1929 г. лишь для немногих чисел была доказана их трансцендентность; трансцендентность числа е была доказана в 1871 г. французским математиком Эрмитом. В 1882 г. немецкий математик Линдеман доказал трансцендентность числа я. Марков ( 1856 - 1922) доказал трансцендентность чисел е и л новым методом. [25]
При этом Гельфонд не забыл о том, что первый принципиальный шаг вперед после Лиувилля в теории трансцендентных чисел был сделан Шарлем Эрмитом, применившим классический анализ к исследованию арифметической природы чисел. С помощью специального интегрального тождества, которому удовлетворяет функция ех, Эрмит доказал в 1873 г. трансцендентность числа е - основания натуральных логарифмов [ II, 25, с. Несколько обобщив тождество Эрмита, Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность чисел вида е, где а - алгебраическое число, откуда сразу же следует трансцендентность числа те и тем самым отрицательное решение проблемы квадратуры круга. [26]
Это чрезвычайно простое положение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел, относящихся к приближению иррациональных чисел рациональными, в доказательствах трансцендентности чисел и др. вопросах. [27]
Во втором томе ( вдвое большем по объему) дан исторический обзор. Здесь рассмотрены: Арифметика древних; Диофантов анализ; Группы многогранников; Функции теории чисел; Теория сравнений; Алгебраические функции; Элементарная теория алгебраических чисел; Гипергеометрический ряд Гаусса; Трансцендентность чисел е и я. В конце книги помещены числовые таблицы и указатели. [28]
Эрмит поддерживал контакты с русскими математиками в разных областях исследований. Это - интегрирование алгебраических функций, диофантовы приближения и диофантовы уравнения, интерполяция, ортогональные многочлены, теория эллиптических функций, вопросы о минимумах квадратичных форм, исследования по теории целых алгебраических чисел, доказательства трансцендентности чисел. [29]
В то же время Ig 2 является трансцендентным числом. Доказательство трансцендентности числа lg 2 значительно сложнее, чем доказательство его иррациональности, и основано на методах гораздо более общих и глубоких, чем те, которые используются при доказательстве его иррациональности. [30]