Cтраница 3
В тоже время lg 2 является трансцендентным числом. Доказательство трансцендентности числа Ig 2 значительно сложнее, чем доказательство его иррациональности, и основано на методах гораздо более общих и глубоких, чем те, которые используются при доказательстве его иррациональности. [31]
Первые результаты здесь были получены в конце 19 в. Lindemann, 1882) - трансцендентность числа я, и тем самым была отрицательно решена проблема о квадратуре круга. Schneider) в 1934 доказали теорему о том, что аР является трансцендентным числом, если а - алгебраич. [32]
До 1929 г. лишь для немногих чисел была доказана их трансцендентность; трансцендентность числа е была доказана в 1871 г. французским математиком Эрмитом. В 1882 г. немецкий математик Линдеман доказал трансцендентность числа я. Марков ( 1856 - 1922) доказал трансцендентность чисел е и л новым методом. [33]
Он высказал следующее предположение: подобно тому, как свойства корней уравнений, относящихся к делению круга, позволили проникнуть в теорию специального вида уравнений, так свойства алгебраических иррациональностей, не выражаемых в радикалах, должны послужить исходной точкой для более глубокого проникновения в общую теорию уравнений. Видимо, уже с этого времени Эрмит задумывает исследование трансцендентности чисел. [34]
При этом Гельфонд не забыл о том, что первый принципиальный шаг вперед после Лиувилля в теории трансцендентных чисел был сделан Шарлем Эрмитом, применившим классический анализ к исследованию арифметической природы чисел. С помощью специального интегрального тождества, которому удовлетворяет функция ех, Эрмит доказал в 1873 г. трансцендентность числа е - основания натуральных логарифмов [ II, 25, с. Несколько обобщив тождество Эрмита, Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность чисел вида е, где а - алгебраическое число, откуда сразу же следует трансцендентность числа те и тем самым отрицательное решение проблемы квадратуры круга. [35]
Метод Лиувилля не позволяет, однако, доказать трансцендентность многих чисел, играющих важную роль в математике, таких, например, как числа е и я. Трансцендентность числа е была доказана в 1873 г. французским математиком Эрмитом. Развивая методы Эрмита, немецкий математик Линдеман ( ученик Вейер-штрасса) в 1882 г. доказал трансцендентность числа я и многих других чисел. [36]
При этом Гельфонд не забыл о том, что первый принципиальный шаг вперед после Лиувилля в теории трансцендентных чисел был сделан Шарлем Эрмитом, применившим классический анализ к исследованию арифметической природы чисел. С помощью специального интегрального тождества, которому удовлетворяет функция ех, Эрмит доказал в 1873 г. трансцендентность числа е - основания натуральных логарифмов [ II, 25, с. Несколько обобщив тождество Эрмита, Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность чисел вида е, где а - алгебраическое число, откуда сразу же следует трансцендентность числа те и тем самым отрицательное решение проблемы квадратуры круга. [37]
Молодые ученые из любой страны встречали радушный прием у Эрмита, который всегда был готов ободрить, дать полезный совет и порадоваться успеху начинающего. После нового доказательства Гильбертом трансцендентности чисел е и те [ II, 222 ] Герман Минковский писал ему: Я живо представляю себе оживление Эрмита, вызванное чтением твоей статьи. [38]
Эти результаты, в соединении с геометрическими соображениями, связанными с заменой переменных и интегрированием по частям, уже позволяют решить большое число задач, сводящихся к элементарным квадратурам. Так как в то время речь шла в основном о неопределенных интегралах, то решение этих задач в современных терминах осуществлялось соответственно при помощи обратных круговых функций и логарифма; что касается первых, то они были введены геометрически, а относительно логарифма мы видели, кап он постепенно внедрялся в анализ. Грегори ( XVII); первый считал, что ои осуществил квадратуру круга, а последний-что доказал трансцендентность числа л; всех их объединяет то, что в их работах развивались методы бесконечного приближения круговых п логарифмических функции, у одних - с теоретическим уклоном, у других - с вычислительным, и эти методы сразу же, благодаря Ньютону ( ( Х1Ха) и ( XlXb)), Мсркатору ( XIII), Грегорн ( XVII bis) и затем Лейбницу ( XXII) примкнули к общим методам разложения в ряд. Но всяком случае постепенно укреплялось убеждение в неразрешимости этих квадратур, то есть в пеалге-бранческом характере определяемых ими функций, ц в то же время суще-ствовала привычка считать, что проблема решена, насколько ото возможно по ее природе, когда она сведена к одной из этнх неразрешимых)) квадратур. Примером тому могут служить задачи о циклоиде, решавшиеся при помощи круговых функции, и о спрямлении параболы, сведенной к квадратура гиперболы. [39]
Несмотря на в целом лестный тон5 с некоторыми утверждениями Клейна невозможно согласиться. И прежде всего с тем, что Эрмит не обладал необходимыми качествами для создания и развития своей собственной школы. Некоторые из них, будучи его непосредственными учениками, успешно продолжали различные направления его исследований, например в области квадратичных и прочих алгебраических форм, трансцендентности чисел, интегрирования уравнений с двояко-периодическими коэффициентами, а также в сфере изучения, использования и развития понятий модулярной группы и модулярной функции. [40]
Петербург - 7.11. 1968, Москва ] - советский математик, чл. Окончил Московский ун-т ( 1927), с 1931 проф. В работах 1929 и 1934 им решена седьмая проблема Гильберта о трансцендентности чисел вида а6 при а алгебраическом ( ау0, ajtl) и Ь алгебраическом иррациональном, а в 1949 установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. [41]
Чтобы избежать недоразумений, с которыми, к сожалению, в этом вопросе приходится довольно часто встречаться, я еще раз подчеркну, что здесь мы вновь имеем дело с вопросом точной математики, не имеющим для практических применений никакого значения. Для практических целей вряд ли кто-либо станет пользоваться точным построением даже в тех случаях, когда это возможно. Напротив, будет гораздо целесообразнее, оставаясь на почве приближенной математики, простыми и умело подобранными испытаниями разделить окружность на любое число равных частей; при этом можно легко достигнуть всякой практически доступной точности. Так, несомненно, поступает каждый механик, которому нужно строить инструменты с окружностями, разделенными на некоторое число частей. При изложении этого вопроса тем или иным путем вычисляют первые десятичные знаки числа те, а затем, несомненно, упоминают о современном доказательстве трансцендентности числа я, решающем в отрицательном смысле древнюю задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки. [42]
Петербург - 7.11. 1968, Москва ] - советский математик, чл. Окончил Московский ун-т ( 1927), с 1931 проф. В работах 1929 и 1934 им решена седьмая проблема Гильберта о трансцендентности чисел вида а6 при а алгебраическом ( ау0, ajtl) и Ь алгебраическом иррациональном, а в 1949 установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. [43]